Trigonometria Exemplos

$\sqrt{1 - \sin^{2} (x)} = \cos (x)$

Etapa 1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}}^{2} = \cos^{2} (x)$

Etapa 2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}$ como ${(1 - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = \cos^{2} (x)$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique ${({(1 - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

${({(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = \cos^{2} (x)$

Etapa 2.2.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \cos^{2} (x)$

Etapa 2.2.1.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.1.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \cos^{2} (x)$

Etapa 2.2.1.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(\cos^{2} (x))}^{1} = \cos^{2} (x)$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${(\cos^{2} (x))}^{1}$ .

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Etapa 2.2.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\cos (x)}^{2 \cdot 1} = \cos^{2} (x)$

Etapa 2.2.1.2.2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) = \cos^{2} (x)$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Como os expoentes são iguais, as bases deles nos dois lados da equação devem ser iguais.

$| \cos (x) | = | \cos (x) |$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Reescreva a equação de valor absoluto como quatro equações sem barras de valor absoluto.

$\cos (x) = \cos (x)$

$\cos (x) = - \cos (x)$

$- \cos (x) = \cos (x)$

$- \cos (x) = - \cos (x)$

Etapa 3.2.2

Depois de simplificar, há apenas duas equações únicas para resolver.

$\cos (x) = \cos (x)$

$\cos (x) = - \cos (x)$

Etapa 3.2.3

Resolva $\cos (x) = \cos (x)$ para $x$ .

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Etapa 3.2.3.1

Para que as duas funções sejam iguais, os argumentos de cada uma delas devem ser iguais.

$x = x$

Etapa 3.2.3.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.3.2.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$x - x = 0$

Etapa 3.2.3.2.2

Subtraia $x$ de $x$ .

$0 = 0$

Etapa 3.2.3.3

Como $0 = 0$ , a equação sempre será verdadeira.

Todos os números reais

Etapa 3.2.4

Resolva $\cos (x) = - \cos (x)$ para $x$ .

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Etapa 3.2.4.1

Mova todos os termos que contêm $\cos (x)$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.4.1.1

Some $\cos (x)$ aos dois lados da equação.

$\cos (x) + \cos (x) = 0$

Etapa 3.2.4.1.2

Some $\cos (x)$ e $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) = 0$

Etapa 3.2.4.2

Divida cada termo em $2 \cos (x) = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.2.4.2.1

Divida cada termo em $2 \cos (x) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 3.2.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 3.2.4.2.2.1.2

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{0}{2}$

Etapa 3.2.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.4.2.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$\cos (x) = 0$

Etapa 3.2.4.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 3.2.4.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.4.4.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 3.2.4.5

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 3.2.4.6

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 3.2.4.6.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 3.2.4.6.2

Combine frações.

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Etapa 3.2.4.6.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 3.2.4.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 3.2.4.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.4.6.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 3.2.4.6.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 3.2.4.7

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 3.2.4.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.2.4.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.2.4.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.2.4.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.2.4.8

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$