Trigonometria Exemplos

$3 \tan^{2} (2 x) - 1 = 0$

Etapa 1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3 \tan^{2} (2 x) = 1$

Etapa 2

Divida cada termo em $3 \tan^{2} (2 x) = 1$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida cada termo em $3 \tan^{2} (2 x) = 1$ por $3$ .

$\frac{3 \tan^{2} (2 x)}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \tan^{2} (2 x)}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 2.2.1.2

Divida $\tan^{2} (2 x)$ por $1$ .

$\tan^{2} (2 x) = \frac{1}{3}$

Etapa 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (2 x) = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Etapa 4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Etapa 4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Etapa 4.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\tan (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Etapa 4.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 4.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 4.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 4.4.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 4.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 4.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 4.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 4.4.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 4.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 4.4.6.5

Avalie o expoente.

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\tan (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\tan (2 x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\tan (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 6

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\tan (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\tan (2 x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 7

Resolva $x$ em $\tan (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Etapa 7.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$2 x = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 7.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.1

O valor exato de $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ é $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Etapa 7.3

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{6}$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Etapa 7.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Etapa 7.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Etapa 7.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 7.3.3.2

Multiplique $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Etapa 7.3.3.2.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Etapa 7.4

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$2 x = π + \frac{π}{6}$

Etapa 7.5

Resolva $x$ .

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Etapa 7.5.1

Simplifique.

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Etapa 7.5.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Etapa 7.5.1.2

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Etapa 7.5.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Etapa 7.5.1.4

Some $π \cdot 6$ e $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1.4.1

Reordene $π$ e $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Etapa 7.5.1.4.2

Some $6 \cdot π$ e $π$ .

$2 x = \frac{7 \cdot π}{6}$

Etapa 7.5.2

Divida cada termo em $2 x = \frac{7 \cdot π}{6}$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{7 \cdot π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 \cdot π}{6}}{2}$

Etapa 7.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 \cdot π}{6}}{2}$

Etapa 7.5.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{7 \cdot π}{6}}{2}$

Etapa 7.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{7 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 7.5.2.3.2

Multiplique $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.3.2.1

Multiplique $\frac{7 π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Etapa 7.5.2.3.2.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Etapa 7.6

Encontre o período de $\tan (2 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 7.6.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 2 |}$

Etapa 7.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{π}{2}$

Etapa 7.7

O período da função $\tan (2 x)$ é $\frac{π}{2}$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $\frac{π}{2}$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{7 π}{12} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Resolva $x$ em $\tan (2 x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Etapa 8.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$2 x = \arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 8.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

O valor exato de $\arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ é $- \frac{π}{6}$ .

$2 x = - \frac{π}{6}$

Etapa 8.3

Divida cada termo em $2 x = - \frac{π}{6}$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Divida cada termo em $2 x = - \frac{π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Etapa 8.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Etapa 8.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Etapa 8.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 8.3.3.2

Multiplique $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

Etapa 8.3.3.2.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Etapa 8.4

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$2 x = - \frac{π}{6} - π$

Etapa 8.5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 8.5.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{6} - π$ .

$2 x = - \frac{π}{6} - π + 2 π$

Etapa 8.5.2

O ângulo resultante de $\frac{5 π}{6}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{6} - π$ .

$2 x = \frac{5 π}{6}$

Etapa 8.5.3

Divida cada termo em $2 x = \frac{5 π}{6}$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.3.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{5 π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

Etapa 8.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

Etapa 8.5.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

Etapa 8.5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 8.5.3.3.2

Multiplique $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.3.3.2.1

Multiplique $\frac{5 π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Etapa 8.5.3.3.2.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Etapa 8.6

Encontre o período de $\tan (2 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 8.6.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 2 |}$

Etapa 8.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{π}{2}$

Etapa 8.7

Some $\frac{π}{2}$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.7.1

Some $\frac{π}{2}$ com $- \frac{π}{12}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{12} + \frac{π}{2}$

Etapa 8.7.2

Para escrever $\frac{π}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{2} \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{12}$

Etapa 8.7.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.7.3.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π \cdot 6}{2 \cdot 6} - \frac{π}{12}$

Etapa 8.7.3.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{π \cdot 6}{12} - \frac{π}{12}$

Etapa 8.7.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 6 - π}{12}$

Etapa 8.7.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.7.5.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{6 \cdot π - π}{12}$

Etapa 8.7.5.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{12}$

Etapa 8.7.6

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{5 π}{12}$

Etapa 8.8

O período da função $\tan (2 x)$ é $\frac{π}{2}$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $\frac{π}{2}$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{7 π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

Consolide as soluções.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Consolide $\frac{π}{12} + \frac{π n}{2}$ e $\frac{7 π}{12} + \frac{π n}{2}$ em $\frac{π}{12} + \frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10.2

Consolide $\frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ e $\frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ em $\frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$