Trigonometria Exemplos

$15 \cos^{2} (x) = 13 + \sin (x)$

Etapa 1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $13$ dos dois lados da equação.

$15 \cos^{2} (x) - 13 = \sin (x)$

Etapa 1.2

Subtraia $\sin (x)$ dos dois lados da equação.

$15 \cos^{2} (x) - 13 - \sin (x) = 0$

Etapa 2

Substitua $15 \cos^{2} (x)$ por $15 (1 - \sin^{2} (x))$ com base na identidade $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$15 (1 - \sin^{2} (x)) - 13 - \sin (x) = 0$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$15 \cdot 1 + 15 (- \sin^{2} (x)) - 13 - \sin (x) = 0$

Etapa 3.2

Multiplique $15$ por $1$ .

$15 + 15 (- \sin^{2} (x)) - 13 - \sin (x) = 0$

Etapa 3.3

Multiplique $- 1$ por $15$ .

$15 - 15 \sin^{2} (x) - 13 - \sin (x) = 0$

Etapa 4

Subtraia $13$ de $15$ .

$- 15 \sin^{2} (x) + 2 - \sin (x) = 0$

Etapa 5

Reordene o polinômio.

$- 15 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 2 = 0$

Etapa 6

Substitua $u$ por $\sin (x)$ .

$- 15 {(u)}^{2} - (u) + 2 = 0$

Etapa 7

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Fatore $- 1$ de $- 15 u^{2} - u + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Fatore $- 1$ de $- 15 u^{2}$ .

$- (15 u^{2}) - u + 2 = 0$

Etapa 7.1.2

Fatore $- 1$ de $- u$ .

$- (15 u^{2}) - u + 2 = 0$

Etapa 7.1.3

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$- (15 u^{2}) - u - 1 \cdot - 2 = 0$

Etapa 7.1.4

Fatore $- 1$ de $- (15 u^{2}) - u$ .

$- (15 u^{2} + u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Etapa 7.1.5

Fatore $- 1$ de $- (15 u^{2} + u) - 1 (- 2)$ .

$- (15 u^{2} + u - 2) = 0$

Etapa 7.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 15 \cdot - 2 = - 30$ e cuja soma é $b = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1.1

Multiplique por $1$ .

$- (15 u^{2} + 1 u - 2) = 0$

Etapa 7.2.1.1.2

Reescreva $1$ como $- 5$ mais $6$

$- (15 u^{2} + (- 5 + 6) u - 2) = 0$

Etapa 7.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- (15 u^{2} - 5 u + 6 u - 2) = 0$

Etapa 7.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 7.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- (15 u^{2} - 5 u + 6 u - 2) = 0$

Etapa 7.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- (5 u (3 u - 1) + 2 (3 u - 1)) = 0$

Etapa 7.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 u - 1$ .

$- ((3 u - 1) (5 u + 2)) = 0$

Etapa 7.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (3 u - 1) (5 u + 2) = 0$

Etapa 8

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 u - 1 = 0$

$5 u + 2 = 0$

Etapa 9

Defina $3 u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Defina $3 u - 1$ como igual a $0$ .

$3 u - 1 = 0$

Etapa 9.2

Resolva $3 u - 1 = 0$ para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3 u = 1$

Etapa 9.2.2

Divida cada termo em $3 u = 1$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 9.2.2.1

Divida cada termo em $3 u = 1$ por $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 9.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 9.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{3}$

Etapa 10

Defina $5 u + 2$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Defina $5 u + 2$ como igual a $0$ .

$5 u + 2 = 0$

Etapa 10.2

Resolva $5 u + 2 = 0$ para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$5 u = - 2$

Etapa 10.2.2

Divida cada termo em $5 u = - 2$ por $5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Divida cada termo em $5 u = - 2$ por $5$ .

$\frac{5 u}{5} = \frac{- 2}{5}$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 u}{5} = \frac{- 2}{5}$

Etapa 10.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 2}{5}$

Etapa 10.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u = - \frac{2}{5}$

Etapa 11

A solução final são todos os valores que tornam $- (3 u - 1) (5 u + 2) = 0$ verdadeiro.

$u = \frac{1}{3}, - \frac{2}{5}$

Etapa 12

Substitua $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = \frac{1}{3}, - \frac{2}{5}$

Etapa 13

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{3}$

$\sin (x) = - \frac{2}{5}$

Etapa 14

Resolva $x$ em $\sin (x) = \frac{1}{3}$ .

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Etapa 14.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{3})$

Etapa 14.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 14.2.1

Avalie $\arcsin (\frac{1}{3})$ .

$x = 0.3398369$

Etapa 14.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = (3.14159265) - 0.3398369$

Etapa 14.4

Resolva $x$ .

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Etapa 14.4.1

Remova os parênteses.

$x = 3.14159265 - 0.3398369$

Etapa 14.4.2

Remova os parênteses.

$x = (3.14159265) - 0.3398369$

Etapa 14.4.3

Subtraia $0.3398369$ de $3.14159265$ .

$x = 2.80175574$

Etapa 14.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 14.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 14.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 14.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 14.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 14.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 0.3398369 + 2 π n, 2.80175574 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 15

Resolva $x$ em $\sin (x) = - \frac{2}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- \frac{2}{5})$

Etapa 15.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 15.2.1

Avalie $\arcsin (- \frac{2}{5})$ .

$x = - 0.41151684$

Etapa 15.3

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 (3.14159265) + 0.41151684 + 3.14159265$

Etapa 15.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 15.4.1

Subtraia $2 π$ de $2 (3.14159265) + 0.41151684 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.41151684 + 3.14159265 - 2 π$

Etapa 15.4.2

O ângulo resultante de $3.55310949$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 (3.14159265) + 0.41151684 + 3.14159265$ .

$x = 3.55310949$

Etapa 15.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 15.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 15.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 15.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 15.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 15.6.1

Some $2 π$ com $- 0.41151684$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 0.41151684 + 2 π$

Etapa 15.6.2

Subtraia $0.41151684$ de $2 π$ .

$5.87166846$

Etapa 15.6.3

Liste os novos ângulos.

$x = 5.87166846$

Etapa 15.7

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 3.55310949 + 2 π n, 5.87166846 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 16

Liste todas as soluções.

$x = 0.3398369 + 2 π n, 2.80175574 + 2 π n, 3.55310949 + 2 π n, 5.87166846 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$