Trigonometria Exemplos

$- 110 \cos (x) = 40 \cos^{2} (x) + 60$

Etapa 1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Subtraia $40 \cos^{2} (x)$ dos dois lados da equação.

$- 110 \cos (x) - 40 \cos^{2} (x) = 60$

Etapa 1.2

Subtraia $60$ dos dois lados da equação.

$- 110 \cos (x) - 40 \cos^{2} (x) - 60 = 0$

Etapa 2

Fatore $- 110 \cos (x) - 40 \cos^{2} (x) - 60$ .

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Etapa 2.1

Fatore $10$ de $- 110 \cos (x) - 40 \cos^{2} (x) - 60$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $10$ de $- 110 \cos (x)$ .

$10 (- 11 \cos (x)) - 40 \cos^{2} (x) - 60 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $10$ de $- 40 \cos^{2} (x)$ .

$10 (- 11 \cos (x)) + 10 (- 4 \cos^{2} (x)) - 60 = 0$

Etapa 2.1.3

Fatore $10$ de $- 60$ .

$10 (- 11 \cos (x)) + 10 (- 4 \cos^{2} (x)) + 10 (- 6) = 0$

Etapa 2.1.4

Fatore $10$ de $10 (- 11 \cos (x)) + 10 (- 4 \cos^{2} (x))$ .

$10 (- 11 \cos (x) - 4 \cos^{2} (x)) + 10 (- 6) = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore $10$ de $10 (- 11 \cos (x) - 4 \cos^{2} (x)) + 10 (- 6)$ .

$10 (- 11 \cos (x) - 4 \cos^{2} (x) - 6) = 0$

Etapa 2.2

Deixe $u = \cos (x)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $\cos (x)$ .

$10 (- 11 u - 4 u^{2} - 6) = 0$

Etapa 2.3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.3.1

Reordene os termos.

$10 (- 4 u^{2} - 11 u - 6) = 0$

Etapa 2.3.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 4 \cdot - 6 = 24$ e cuja soma é $b = - 11$ .

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Etapa 2.3.2.1

Fatore $- 11$ de $- 11 u$ .

$10 (- 4 u^{2} - 11 u - 6) = 0$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva $- 11$ como $- 3$ mais $- 8$

$10 (- 4 u^{2} + (- 3 - 8) u - 6) = 0$

Etapa 2.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$10 (- 4 u^{2} - 3 u - 8 u - 6) = 0$

Etapa 2.3.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.3.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$10 ((- 4 u^{2} - 3 u) - 8 u - 6) = 0$

Etapa 2.3.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$10 (u (- 4 u - 3) + 2 (- 4 u - 3)) = 0$

Etapa 2.3.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 4 u - 3$ .

$10 ((- 4 u - 3) (u + 2)) = 0$

Etapa 2.4

Fatore.

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Etapa 2.4.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$10 ((- 4 \cos (x) - 3) (\cos (x) + 2)) = 0$

Etapa 2.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$10 (- 4 \cos (x) - 3) (\cos (x) + 2) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$- 4 \cos (x) - 3 = 0$

$\cos (x) + 2 = 0$

Etapa 4

Defina $- 4 \cos (x) - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $- 4 \cos (x) - 3$ como igual a $0$ .

$- 4 \cos (x) - 3 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $- 4 \cos (x) - 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$- 4 \cos (x) = 3$

Etapa 4.2.2

Divida cada termo em $- 4 \cos (x) = 3$ por $- 4$ e simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Divida cada termo em $- 4 \cos (x) = 3$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{3}{- 4}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

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Etapa 4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{3}{- 4}$

Etapa 4.2.2.2.1.2

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{3}{- 4}$

Etapa 4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cos (x) = - \frac{3}{4}$

Etapa 4.2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- \frac{3}{4})$

Etapa 4.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.4.1

Avalie $\arccos (- \frac{3}{4})$ .

$x = 2.4188584$

Etapa 4.2.5

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 2.4188584$

Etapa 4.2.6

Resolva $x$ .

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Etapa 4.2.6.1

Remova os parênteses.

$x = 2 (3.14159265) - 2.4188584$

Etapa 4.2.6.2

Simplifique $2 (3.14159265) - 2.4188584$ .

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Etapa 4.2.6.2.1

Multiplique $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.4188584$

Etapa 4.2.6.2.2

Subtraia $2.4188584$ de $6.2831853$ .

$x = 3.8643269$

Etapa 4.2.7

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 4.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.2.8

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2.4188584 + 2 π n, 3.8643269 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

Defina $\cos (x) + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $\cos (x) + 2$ como igual a $0$ .

$\cos (x) + 2 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $\cos (x) + 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$\cos (x) = - 2$

Etapa 5.2.2

O intervalo do cosseno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- 2$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $10 (- 4 \cos (x) - 3) (\cos (x) + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 2.4188584 + 2 π n, 3.8643269 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$