Trigonometria Exemplos

$\cos (\frac{x}{3}) = \frac{1}{2}$

Etapa 1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$\frac{x}{3} = \arccos (\frac{1}{2})$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

O valor exato de $\arccos (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{3}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π}{3}$

Etapa 3

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$x = π$

Etapa 4

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$\frac{x}{3} = 2 π - \frac{π}{3}$

Etapa 5

Resolva $x$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (2 π - \frac{π}{3})$

Etapa 5.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{x}{3} = 3 (2 π - \frac{π}{3})$

Etapa 5.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 3 (2 π - \frac{π}{3})$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

Simplifique $3 (2 π - \frac{π}{3})$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = 3 (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3})$

Etapa 5.2.2.1.2

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = 3 (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3})$

Etapa 5.2.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = 3 \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 5.2.2.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$x = 3 \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 5.2.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 π \cdot 3 - π$

Etapa 5.2.2.1.5

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = 6 π - π$

Etapa 5.2.2.1.6

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = 5 π$

Etapa 6

Encontre o período de $\cos (\frac{x}{3})$ .

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Etapa 6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.2

Substitua $b$ por $\frac{1}{3}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Etapa 6.3

$\frac{1}{3}$ é aproximadamente $0.\overline{3}$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Etapa 6.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \cdot 3$

Etapa 6.5

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 π$

Etapa 7

O período da função $\cos (\frac{x}{3})$ é $6 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $6 π$ radianos nas duas direções.

$x = π + 6 π n, 5 π + 6 π n$ , para qualquer número inteiro $n$