Trigonometria Exemplos

$\cos (x) (\tan (x)) + \cot (x) = \csc (x)$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.1.1

Reordene $\cos (x)$ e $\tan (x)$ .

$\tan (x) \cos (x) + \cot (x) = \csc (x)$

Etapa 1.1.1.2

Reescreva $\cos (x) \tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \cot (x) = \csc (x)$

Etapa 1.1.1.3

Cancele os fatores comuns.

$\sin (x) + \cot (x) = \csc (x)$

Etapa 1.1.2

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \csc (x)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 3

Multiplique os dois lados da equação por $\sin (x)$ .

$\sin (x) (\sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 4

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 5

Multiplique $\sin (x) \sin (x)$ .

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Etapa 5.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 5.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 5.4

Some $1$ e $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 6

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 6.1

Cancele o fator comum.

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 6.2

Reescreva a expressão.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 7

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 7.1

Cancele o fator comum.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 7.2

Reescreva a expressão.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) = 1$

Etapa 8

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) - 1 = 0$

Etapa 9

Simplifique $\sin^{2} (x) + \cos (x) - 1$ .

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Etapa 9.1

Mova $- 1$ .

$\sin^{2} (x) - 1 + \cos (x) = 0$

Etapa 9.2

Reordene $\sin^{2} (x)$ e $- 1$ .

$- 1 + \sin^{2} (x) + \cos (x) = 0$

Etapa 9.3

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$- 1 (1) + \sin^{2} (x) + \cos (x) = 0$

Etapa 9.4

Fatore $- 1$ de $\sin^{2} (x)$ .

$- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Etapa 9.5

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$- 1 (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Etapa 9.6

Reescreva $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ como $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$- (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Etapa 9.7

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) = 0$

Etapa 10

Resolva $x$ .

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Etapa 10.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 10.1.1

Deixe $u = \cos (x)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $\cos (x)$ .

$- u^{2} + u = 0$

Etapa 10.1.2

Fatore $u$ de $- u^{2} + u$ .

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Etapa 10.1.2.1

Fatore $u$ de $- u^{2}$ .

$u (- u) + u = 0$

Etapa 10.1.2.2

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$u (- u) + u = 0$

Etapa 10.1.2.3

Fatore $u$ de $u^{1}$ .

$u (- u) + u \cdot 1 = 0$

Etapa 10.1.2.4

Fatore $u$ de $u (- u) + u \cdot 1$ .

$u (- u + 1) = 0$

Etapa 10.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$\cos (x) (- \cos (x) + 1) = 0$

Etapa 10.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$- \cos (x) + 1 = 0$

Etapa 10.3

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.3.1

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Etapa 10.3.2

Resolva $\cos (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 10.3.2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 10.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.3.2.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 10.3.2.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 10.3.2.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 10.3.2.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 10.3.2.4.2

Combine frações.

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Etapa 10.3.2.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 10.3.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 10.3.2.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.3.2.4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 10.3.2.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 10.3.2.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 10.3.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 10.3.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 10.3.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 10.3.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 10.3.2.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10.4

Defina $- \cos (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.4.1

Defina $- \cos (x) + 1$ como igual a $0$ .

$- \cos (x) + 1 = 0$

Etapa 10.4.2

Resolva $- \cos (x) + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 10.4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \cos (x) = - 1$

Etapa 10.4.2.2

Divida cada termo em $- \cos (x) = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 10.4.2.2.1

Divida cada termo em $- \cos (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 10.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.4.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 10.4.2.2.2.2

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 10.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.4.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$\cos (x) = 1$

Etapa 10.4.2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (1)$

Etapa 10.4.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.4.2.4.1

O valor exato de $\arccos (1)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 10.4.2.5

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Etapa 10.4.2.6

Subtraia $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Etapa 10.4.2.7

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 10.4.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 10.4.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 10.4.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 10.4.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 10.4.2.8

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10.5

A solução final são todos os valores que tornam $\cos (x) (- \cos (x) + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11

Consolide as respostas.

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Etapa 11.1

Consolide $\frac{π}{2} + 2 π n$ e $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ em $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11.2

Consolide $2 π n$ e $2 π + 2 π n$ em $2 π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 12

Exclua as soluções que não tornam $\cos (x) (\tan (x)) + \cot (x) = \csc (x)$ verdadeira.

$x = 1.57079632, 4.71238898, 6.2831853, 7.85398163, 10.99557428, 12.56637061, 14.13716694, 17.27875959, 18.84955592, 20.42035224, 23.5619449, 25.13274122, 31.41592653, 37.69911184, 43.98229715$ , para qualquer número inteiro $n$