Trigonometria Exemplos

$\csc (x) - \cot (2 x) = \tan (x)$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{\sin (x)} - \cot (2 x) = \tan (x)$

Etapa 1.1.2

Reescreva $\cot (2 x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \tan (x)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 3

Multiplique os dois lados da equação por $\sin (x)$ .

$\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}) = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 4

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) (- \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}) = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 5

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum.

$\sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) (- \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}) = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 5.2

Reescreva a expressão.

$1 + \sin (x) (- \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}) = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 - \sin (x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1

Combine $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ e $\sin (x)$ .

$1 - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{\sin (2 x)} = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7.2

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$1 - \frac{(2 \cos^{2} (x) - 1) \sin (x)}{\sin (2 x)} = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7.3

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$1 - \frac{(2 \cos^{2} (x) - 1) \sin (x)}{2 \sin (x) \cos (x)} = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7.4

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 7.4.1

Cancele o fator comum.

$1 - \frac{(2 \cos^{2} (x) - 1) \sin (x)}{2 \sin (x) \cos (x)} = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7.4.2

Reescreva a expressão.

$1 - \frac{2 \cos^{2} (x) - 1}{2 \cos (x)} = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7.5

Aplique a fórmula do arco duplo do cosseno.

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 8

Multiplique $\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Etapa 8.1

Combine $\sin (x)$ e $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} = \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 8.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} = \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 8.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} = \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 8.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} = \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Etapa 8.5

Some $1$ e $1$ .

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 9

Subtraia $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ dos dois lados da equação.

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Etapa 10

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.1

Separe as frações.

$1 - (\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Etapa 10.2

Reescreva $\frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}$ como um produto.

$1 - (\frac{1}{2} (\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)})) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Etapa 10.3

Escreva $\cos (2 x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$1 - (\frac{1}{2} (\frac{\cos (2 x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)})) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Etapa 10.4

Simplifique.

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Etapa 10.4.1

Divida $\cos (2 x)$ por $1$ .

$1 - (\frac{1}{2} (\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)})) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Etapa 10.4.2

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$1 - (\frac{1}{2} (\cos (2 x) \sec (x))) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Etapa 10.5

Multiplique $\frac{1}{2} (\cos (2 x) \sec (x))$ .

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Etapa 10.5.1

Combine $\cos (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$1 - (\frac{\cos (2 x)}{2} \sec (x)) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Etapa 10.5.2

Combine $\frac{\cos (2 x)}{2}$ e $\sec (x)$ .

$1 - \frac{\cos (2 x) \sec (x)}{2} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Etapa 10.6

Fatore $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$1 - \frac{\cos (2 x) \sec (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Etapa 10.7

Separe as frações.

$1 - \frac{\cos (2 x) \sec (x)}{2} - (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = 0$

Etapa 10.8

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$1 - \frac{\cos (2 x) \sec (x)}{2} - (\frac{\sin (x)}{1} \tan (x)) = 0$

Etapa 10.9

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$1 - \frac{\cos (2 x) \sec (x)}{2} - \sin (x) \tan (x) = 0$

Etapa 11

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 11.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.1.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$1 - \frac{\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)}}{2} - \sin (x) \tan (x) = 0$

Etapa 11.1.2

Combine $\cos (2 x)$ e $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 - \frac{\frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}}{2} - \sin (x) \tan (x) = 0$

Etapa 11.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 - (\frac{\cos (2 x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (x) \tan (x) = 0$

Etapa 11.1.4

Multiplique $\frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}$ por $\frac{1}{2}$ .

$1 - \frac{\cos (2 x)}{\cos (x) \cdot 2} - \sin (x) \tan (x) = 0$

Etapa 11.1.5

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (x)$ .

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cdot \cos (x)} - \sin (x) \tan (x) = 0$

Etapa 11.1.6

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Etapa 11.1.7

Multiplique $- \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Etapa 11.1.7.1

Combine $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ e $\sin (x)$ .

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Etapa 11.1.7.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Etapa 11.1.7.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)} = 0$

Etapa 11.1.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} = 0$

Etapa 11.1.7.5

Some $1$ e $1$ .

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Etapa 12

Multiplique os dois lados da equação por $\cos (x)$ .

$\cos (x) (1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 13

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)}) + \cos (x) (- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) + \cos (x) (- \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)}) + \cos (x) (- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 14.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\cos (x) - \cos (x) \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 14.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\cos (x) - \cos (x) \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 15

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 15.1.1

Fatore $\cos (x)$ de $- \cos (x)$ .

$\cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 15.1.2

Fatore $\cos (x)$ de $2 \cos (x)$ .

$\cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\cos (2 x)}{\cos (x) \cdot 2} - \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 15.1.3

Cancele o fator comum.

$\cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\cos (2 x)}{\cos (x) \cdot 2} - \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 15.1.4

Reescreva a expressão.

$\cos (x) - \frac{\cos (2 x)}{2} - \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 15.2

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 15.2.1

Fatore $\cos (x)$ de $- \cos (x)$ .

$\cos (x) - \frac{\cos (2 x)}{2} + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 15.2.2

Cancele o fator comum.

$\cos (x) - \frac{\cos (2 x)}{2} + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 15.2.3

Reescreva a expressão.

$\cos (x) - \frac{\cos (2 x)}{2} - \sin^{2} (x) = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 16

Multiplique $\cos (x)$ por $0$ .

$\cos (x) - \frac{\cos (2 x)}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 17

Substitua $\sin^{2} (x)$ por $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\cos (x) - \frac{\cos (2 x)}{2} - (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Etapa 18

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$\cos (x) - \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2} - (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Etapa 19

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 19.1

Simplifique $\cos (x) - \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2} - (1 - \cos^{2} (x))$ .

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Etapa 19.1.1

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\cos (x) - \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 19.1.2

Para escrever $\cos (x)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\cos (x) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 19.1.3

Simplifique os termos.

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Etapa 19.1.3.1

Combine $\cos (x)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 2}{2} - \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 19.1.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\cos (x) \cdot 2 - (1 - 2 \sin^{2} (x))}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 19.1.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 19.1.4.1

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cdot \cos (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x))}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 19.1.4.2

Aplique a fórmula do arco duplo do cosseno.

$\frac{2 \cos (x) - \cos (2 x)}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 19.1.4.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 19.1.4.3.1

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$\frac{2 \cos (x) - (2 \cos^{2} (x) - 1)}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 19.1.4.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cos (x) - (2 \cos^{2} (x)) - - 1}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 19.1.4.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) - - 1}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 19.1.4.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 19.1.5

Para escrever $- \sin^{2} (x)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1}{2} - \sin^{2} (x) \cdot \frac{2}{2} = 0$

Etapa 19.1.6

Simplifique os termos.

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Etapa 19.1.6.1

Combine $- \sin^{2} (x)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1}{2} + \frac{- \sin^{2} (x) \cdot 2}{2} = 0$

Etapa 19.1.6.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1 - \sin^{2} (x) \cdot 2}{2} = 0$

Etapa 19.1.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 19.1.7.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)}{2} = 0$

Etapa 19.1.7.2

Mova $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 1}{2} = 0$

Etapa 19.1.7.3

Fatore $- 2$ de $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) - 2 (\cos^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) + 1}{2} = 0$

Etapa 19.1.7.4

Fatore $- 2$ de $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) - 2 (\cos^{2} (x)) - 2 (\sin^{2} (x)) + 1}{2} = 0$

Etapa 19.1.7.5

Fatore $- 2$ de $- 2 (\cos^{2} (x)) - 2 (\sin^{2} (x))$ .

$\frac{2 \cos (x) - 2 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + 1}{2} = 0$

Etapa 19.1.7.6

Reorganize os termos.

$\frac{2 \cos (x) - 2 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 1}{2} = 0$

Etapa 19.1.7.7

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cdot 1 + 1}{2} = 0$

Etapa 19.1.7.8

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{2 \cos (x) - 2 + 1}{2} = 0$

Etapa 19.1.7.9

Some $- 2$ e $1$ .

$\frac{2 \cos (x) - 1}{2} = 0$

Etapa 20

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 20.1

Defina o numerador como igual a zero.

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Etapa 20.2

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 20.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 \cos (x) = 1$

Etapa 20.2.2

Divida cada termo em $2 \cos (x) = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 20.2.2.1

Divida cada termo em $2 \cos (x) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 20.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 20.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 20.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 20.2.2.2.1.2

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Etapa 20.2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Etapa 20.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 20.2.4.1

O valor exato de $\arccos (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 20.2.5

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Etapa 20.2.6

Simplifique $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Etapa 20.2.6.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 20.2.6.2

Combine frações.

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Etapa 20.2.6.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 20.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 20.2.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 20.2.6.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Etapa 20.2.6.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Etapa 20.2.7

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 20.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 20.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 20.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 20.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 20.2.8

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$