Trigonometria Exemplos

$\csc (x) - 1 = \frac{\cot^{2} (x)}{\csc (x) + 1}$

Etapa 1

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$\frac{\cot^{2} (x)}{\csc (x) + 1} + 1 = \csc (x)$

Etapa 2

Substitua $\cot^{2} (x)$ por $\csc^{2} (x) - 1$ com base na identidade $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) - 1) + 1 = \csc (x)$

Etapa 3

Combine os termos opostos em $\csc^{2} (x) - 1 + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Some $- 1$ e $1$ .

$\csc^{2} (x) + 0 = \csc (x)$

Etapa 3.2

Some $\csc^{2} (x)$ e $0$ .

$\csc^{2} (x) = \csc (x)$

Etapa 4

Substitua $u$ por $\csc (x)$ .

${(u)}^{2} = u$

Etapa 5

Subtraia $u$ dos dois lados da equação.

$u^{2} - u = 0$

Etapa 6

Fatore $u$ de $u^{2} - u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Fatore $u$ de $u^{2}$ .

$u \cdot u - u = 0$

Etapa 6.2

Fatore $u$ de $- u$ .

$u \cdot u + u \cdot - 1 = 0$

Etapa 6.3

Fatore $u$ de $u \cdot u + u \cdot - 1$ .

$u (u - 1) = 0$

Etapa 7

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u = 0$

$u - 1 = 0$

Etapa 8

Defina $u$ como igual a $0$ .

$u = 0$

Etapa 9

Defina $u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Defina $u - 1$ como igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Etapa 9.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$u = 1$

Etapa 10

A solução final são todos os valores que tornam $u (u - 1) = 0$ verdadeiro.

$u = 0, 1$

Etapa 11

Substitua $\csc (x)$ por $u$ .

$\csc (x) = 0, 1$

Etapa 12

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\csc (x) = 0$

$\csc (x) = 1$

Etapa 13

Resolva $x$ em $\csc (x) = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

O intervalo da cossecante é $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Como $0$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 14

Resolva $x$ em $\csc (x) = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cossecante.

$x = arccsc (1)$

Etapa 14.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

O valor exato de $arccsc (1)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 14.3

A função cossecante é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Etapa 14.4

Simplifique $π - \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 14.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 14.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 14.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Etapa 14.4.3.2

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 14.5

Encontre o período de $\csc (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 14.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 14.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 14.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 14.6

O período da função $\csc (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 15

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$