Trigonometria Exemplos

$\cot (2 x) = \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva $\cot (2 x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique $\frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cot^{2} (x) - 1^{2}}{2 \cot (x)}$

Etapa 2.1.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \cot (x)$ e $b = 1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)}$

Etapa 2.1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)}$

Etapa 2.1.1.3.2

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}{2 \cot (x)}$

Etapa 2.1.2

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}{2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Etapa 2.1.3

Combine $2$ e $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}{\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}}$

Etapa 2.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 2.1.5

Expanda $(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1) + 1 (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 2.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 2.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 2.1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.1.1

Multiplique $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.1.1.1

Multiplique $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ por $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 2.1.6.1.1.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 2.1.6.1.1.3

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 2.1.6.1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 2.1.6.1.1.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 2.1.6.1.1.6

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 2.1.6.1.1.7

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 2.1.6.1.1.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 2.1.6.1.1.9

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 2.1.6.1.2

Combine $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ e $- 1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cdot - 1}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 2.1.6.1.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{- 1 \cdot \cos (x)}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 2.1.6.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 2.1.6.1.5

Multiplique $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ por $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 2.1.6.1.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 2.1.6.2

Some $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ e $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 0 - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 2.1.6.3

Some $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ e $0$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 2.1.7

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 2.1.7.2

Combine.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos^{2} (x) \sin (x)}{\sin^{2} (x) (2 \cos (x))} - 1 \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 2.1.7.3

Reescreva $- 1 \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$ como $- \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos^{2} (x) \sin (x)}{\sin^{2} (x) (2 \cos (x))} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 2.1.8

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.8.1

Cancele o fator comum de $\cos^{2} (x)$ e $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.8.1.1

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x) (\cos (x) \sin (x))}{\sin^{2} (x) (2 \cos (x))} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 2.1.8.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.8.1.2.1

Fatore $\cos (x)$ de $\sin^{2} (x) (2 \cos (x))$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x) (\cos (x) \sin (x))}{\cos (x) (\sin^{2} (x) \cdot (2))} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 2.1.8.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x) (\cos (x) \sin (x))}{\cos (x) (\sin^{2} (x) \cdot (2))} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 2.1.8.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x) \sin (x)}{\sin^{2} (x) \cdot (2)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 2.1.8.2

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ e $\sin^{2} (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.8.2.1

Fatore $\sin (x)$ de $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x) \cdot (2)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 2.1.8.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.8.2.2.1

Fatore $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x) \cdot (2)$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin (x) (\sin (x) \cdot 2)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 2.1.8.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin (x) (\sin (x) \cdot 2)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 2.1.8.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x)}{\sin (x) \cdot 2} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 2.1.8.3

Mova $2$ para a esquerda de $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 3

Multiplique os dois lados da equação por $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \sin (2 x) (\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)})$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $\sin (2 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Cancele o fator comum.

$\sin (2 x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \sin (2 x) (\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)})$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão.

$\cos (2 x) = \sin (2 x) (\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)})$

Etapa 5

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (2 x) = \sin (2 x) \frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} + \sin (2 x) (- \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)})$

Etapa 6

Combine $\sin (2 x)$ e $\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)}$ .

$\cos (2 x) = \frac{\sin (2 x) \cos (x)}{2 \sin (x)} + \sin (2 x) (- \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)})$

Etapa 7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\cos (2 x) = \frac{\sin (2 x) \cos (x)}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 8

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) \cos (x) \cos (x)}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 8.1.2

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos (x))}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 8.1.2.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 8.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 8.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) \cos^{2} (x)}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum.

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) \cos^{2} (x)}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 8.2.2

Reescreva a expressão.

$\cos (2 x) = \frac{\sin (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 8.3

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Cancele o fator comum.

$\cos (2 x) = \frac{\sin (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 8.3.2

Divida $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 8.4

Combine $\frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$ e $\sin (2 x)$ .

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{\sin (x) \sin (2 x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 8.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{\sin (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 8.5.2

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.2.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 8.5.2.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 8.5.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 8.5.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 8.6

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.1

Cancele o fator comum.

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 8.6.2

Reescreva a expressão.

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Etapa 8.7

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.7.1

Cancele o fator comum.

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Etapa 8.7.2

Divida $\sin^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Etapa 9

Aplique a fórmula do arco duplo do cosseno.

$\cos (2 x) = \cos (2 x)$

Etapa 10

Mova todos os termos que contêm $\cos (2 x)$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Subtraia $\cos (2 x)$ dos dois lados da equação.

$\cos (2 x) - \cos (2 x) = 0$

Etapa 10.2

Subtraia $\cos (2 x)$ de $\cos (2 x)$ .

$0 = 0$

Etapa 11

Como $0 = 0$ , a equação sempre será verdadeira para qualquer valor de $x$ .

Todos os números reais

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Todos os números reais

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$