Trigonometria Exemplos

$f (x) = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$ como uma equação.

$y = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15} = x$ .

$\frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15} = x$

Etapa 3.2

Multiplique os dois lados por $20 e^{y} + 15$ .

$\frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15} (20 e^{y} + 15) = x (20 e^{y} + 15)$

Etapa 3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum de $20 e^{y} + 15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15} (20 e^{y} + 15) = x (20 e^{y} + 15)$

Etapa 3.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$3 e^{y} - 8 = x (20 e^{y} + 15)$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique $x (20 e^{y} + 15)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 e^{y} - 8 = x (20 e^{y}) + x \cdot 15$

Etapa 3.3.2.1.2

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 e^{y} - 8 = 20 x e^{y} + x \cdot 15$

Etapa 3.3.2.1.2.2

Mova $15$ para a esquerda de $x$ .

$3 e^{y} - 8 = 20 x e^{y} + 15 x$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Subtraia $20 x e^{y}$ dos dois lados da equação.

$3 e^{y} - 8 - 20 x e^{y} = 15 x$

Etapa 3.4.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$3 e^{y} - 20 x e^{y} = 15 x + 8$

Etapa 3.4.3

Fatore $e^{y}$ de $3 e^{y} - 20 x e^{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Fatore $e^{y}$ de $3 e^{y}$ .

$e^{y} \cdot 3 - 20 x e^{y} = 15 x + 8$

Etapa 3.4.3.2

Fatore $e^{y}$ de $- 20 x e^{y}$ .

$e^{y} \cdot 3 + e^{y} (- 20 x) = 15 x + 8$

Etapa 3.4.3.3

Fatore $e^{y}$ de $e^{y} \cdot 3 + e^{y} (- 20 x)$ .

$e^{y} (3 - 20 x) = 15 x + 8$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $e^{y} (3 - 20 x) = 15 x + 8$ por $3 - 20 x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $e^{y} (3 - 20 x) = 15 x + 8$ por $3 - 20 x$ .

$\frac{e^{y} (3 - 20 x)}{3 - 20 x} = \frac{15 x}{3 - 20 x} + \frac{8}{3 - 20 x}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $3 - 20 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{y} (3 - 20 x)}{3 - 20 x} = \frac{15 x}{3 - 20 x} + \frac{8}{3 - 20 x}$

Etapa 3.4.4.2.1.2

Divida $e^{y}$ por $1$ .

$e^{y} = \frac{15 x}{3 - 20 x} + \frac{8}{3 - 20 x}$

Etapa 3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{y} = \frac{15 x + 8}{3 - 20 x}$

Etapa 3.4.5

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

Etapa 3.4.6

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.6.1

Expanda $\ln (e^{y})$ movendo $y$ para fora do logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

Etapa 3.4.6.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

Etapa 3.4.6.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$y = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$ é o inverso de $f (x) = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}})$

Etapa 5.2.3

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Fatore $5$ de $20 e^{x} + 15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Fatore $5$ de $20 e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x}) + 15}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}})$

Etapa 5.2.3.1.2

Fatore $5$ de $15$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x}) + 5 (3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}})$

Etapa 5.2.3.1.3

Fatore $5$ de $5 (4 e^{x}) + 5 (3)$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}})$

Etapa 5.2.3.2

Fatore $5$ de $20 e^{x} + 15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1

Fatore $5$ de $20 e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x}) + 15}})$

Etapa 5.2.3.2.2

Fatore $5$ de $15$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x}) + 5 (3)}})$

Etapa 5.2.3.2.3

Fatore $5$ de $5 (4 e^{x}) + 5 (3)$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Etapa 5.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1.1

Fatore $5$ de $15$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{5 (3) (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Etapa 5.2.4.1.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{5 \cdot (3 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)})) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Etapa 5.2.4.1.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{3 (\frac{3 e^{x} - 8}{4 e^{x} + 3}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Etapa 5.2.4.2

Combine $3$ e $\frac{3 e^{x} - 8}{4 e^{x} + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3} + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Etapa 5.2.4.3

Para escrever $8$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4 e^{x} + 3}{4 e^{x} + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3} + \frac{8 (4 e^{x} + 3)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Etapa 5.2.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{3 (3 e^{x} - 8) + 8 (4 e^{x} + 3)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Etapa 5.2.4.5

Reordene os termos.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{8 (4 e^{x} + 3) + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Etapa 5.2.4.6

Reescreva $\frac{8 (4 e^{x} + 3) + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{8 (4 e^{x}) + 8 \cdot 3 + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Etapa 5.2.4.6.2

Multiplique $4$ por $8$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 8 \cdot 3 + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Etapa 5.2.4.6.3

Multiplique $8$ por $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 24 + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Etapa 5.2.4.6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 24 + 3 (3 e^{x}) + 3 \cdot - 8}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Etapa 5.2.4.6.5

Multiplique $3$ por $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 24 + 9 e^{x} + 3 \cdot - 8}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Etapa 5.2.4.6.6

Multiplique $3$ por $- 8$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 24 + 9 e^{x} - 24}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Etapa 5.2.4.6.7

Some $32 e^{x}$ e $9 e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x} + 24 - 24}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Etapa 5.2.4.6.8

Subtraia $24$ de $24$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x} + 0}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Etapa 5.2.4.6.9

Some $41 e^{x}$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Etapa 5.2.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1.1

Fatore $5$ de $- 20$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 + 5 (- 4) (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)})})$

Etapa 5.2.5.1.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 + 5 \cdot (- 4 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)})})$

Etapa 5.2.5.1.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 - 4 \frac{3 e^{x} - 8}{4 e^{x} + 3}})$

Etapa 5.2.5.2

Combine $- 4$ e $\frac{3 e^{x} - 8}{4 e^{x} + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 + \frac{- 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

Etapa 5.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 - \frac{4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

Etapa 5.2.5.4

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4 e^{x} + 3}{4 e^{x} + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{3 (4 e^{x} + 3)}{4 e^{x} + 3} - \frac{4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

Etapa 5.2.5.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{3 (4 e^{x} + 3) - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

Etapa 5.2.5.6

Reescreva $\frac{3 (4 e^{x} + 3) - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{3 (4 e^{x}) + 3 \cdot 3 - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

Etapa 5.2.5.6.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 3 \cdot 3 - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

Etapa 5.2.5.6.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 9 - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

Etapa 5.2.5.6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 9 - 4 (3 e^{x}) - 4 \cdot - 8}{4 e^{x} + 3}})$

Etapa 5.2.5.6.5

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 9 - 12 e^{x} - 4 \cdot - 8}{4 e^{x} + 3}})$

Etapa 5.2.5.6.6

Multiplique $- 4$ por $- 8$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 9 - 12 e^{x} + 32}{4 e^{x} + 3}})$

Etapa 5.2.5.6.7

Subtraia $12 e^{x}$ de $12 e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{0 + 9 + 32}{4 e^{x} + 3}})$

Etapa 5.2.5.6.8

Some $0$ e $9$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{9 + 32}{4 e^{x} + 3}})$

Etapa 5.2.5.6.9

Some $9$ e $32$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{41}{4 e^{x} + 3}})$

Etapa 5.2.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3} \cdot \frac{4 e^{x} + 3}{41})$

Etapa 5.2.7

Cancele o fator comum de $41$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.1

Fatore $41$ de $41 e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{41 (e^{x})}{4 e^{x} + 3} \cdot \frac{4 e^{x} + 3}{41})$

Etapa 5.2.7.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3} \cdot \frac{4 e^{x} + 3}{41})$

Etapa 5.2.7.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{e^{x}}{4 e^{x} + 3} \cdot (4 e^{x} + 3))$

Etapa 5.2.8

Cancele o fator comum de $4 e^{x} + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.8.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{e^{x}}{4 e^{x} + 3} \cdot (4 e^{x} + 3))$

Etapa 5.2.8.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (e^{x})$

Etapa 5.2.9

Use as regras logarítmicas para mover $x$ para fora do expoente.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = x \ln (e)$

Etapa 5.2.10

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = x \cdot 1$

Etapa 5.2.11

Multiplique $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}))$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{3 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} - 8}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{3 (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}) - 8}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Etapa 5.3.3.2

Combine $3$ e $\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8)}{3 - 20 x} - 8}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Etapa 5.3.3.3

Para escrever $- 8$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 - 20 x}{3 - 20 x}$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8)}{3 - 20 x} - 8 \cdot \frac{3 - 20 x}{3 - 20 x}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Etapa 5.3.3.4

Combine $- 8$ e $\frac{3 - 20 x}{3 - 20 x}$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8)}{3 - 20 x} + \frac{- 8 (3 - 20 x)}{3 - 20 x}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Etapa 5.3.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8) - 8 (3 - 20 x)}{3 - 20 x}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Etapa 5.3.3.6

Reordene os termos.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8) - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Etapa 5.3.3.7

Reescreva $\frac{3 (15 x + 8) - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 5.3.3.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x) + 3 \cdot 8 - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Etapa 5.3.3.7.2

Multiplique $15$ por $3$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 3 \cdot 8 - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Etapa 5.3.3.7.3

Multiplique $3$ por $8$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 24 - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Etapa 5.3.3.7.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 24 - 8 \cdot 3 - 8 (- 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Etapa 5.3.3.7.5

Multiplique $- 8$ por $3$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 24 - 24 - 8 (- 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Etapa 5.3.3.7.6

Multiplique $- 20$ por $- 8$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 24 - 24 + 160 x}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Etapa 5.3.3.7.7

Some $45 x$ e $160 x$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x + 24 - 24}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Etapa 5.3.3.7.8

Subtraia $24$ de $24$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x + 0}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Etapa 5.3.3.7.9

Some $205 x$ e $0$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Etapa 5.3.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.4.1

Fatore $5$ de $20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15$ .

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Etapa 5.3.4.1.1

Fatore $5$ de $20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})}$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (4 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})}) + 15}$

Etapa 5.3.4.1.2

Fatore $5$ de $15$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (4 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})}) + 5 (3)}$

Etapa 5.3.4.1.3

Fatore $5$ de $5 (4 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})}) + 5 (3)$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (4 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 3)}$

Etapa 5.3.4.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (4 (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}) + 3)}$

Etapa 5.3.4.3

Combine $4$ e $\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x + 8)}{3 - 20 x} + 3)}$

Etapa 5.3.4.4

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 - 20 x}{3 - 20 x}$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x + 8)}{3 - 20 x} + \frac{3 (3 - 20 x)}{3 - 20 x})}$

Etapa 5.3.4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x + 8) + 3 (3 - 20 x)}{3 - 20 x})}$

Etapa 5.3.4.6

Reordene os termos.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x + 8) + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3})}$

Etapa 5.3.4.7

Reescreva $\frac{4 (15 x + 8) + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 5.3.4.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x) + 4 \cdot 8 + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3})}$

Etapa 5.3.4.7.2

Multiplique $15$ por $4$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 4 \cdot 8 + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3})}$

Etapa 5.3.4.7.3

Multiplique $4$ por $8$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 32 + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3})}$

Etapa 5.3.4.7.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 32 + 3 \cdot 3 + 3 (- 20 x)}{- 20 x + 3})}$

Etapa 5.3.4.7.5

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 32 + 9 + 3 (- 20 x)}{- 20 x + 3})}$

Etapa 5.3.4.7.6

Multiplique $- 20$ por $3$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 32 + 9 - 60 x}{- 20 x + 3})}$

Etapa 5.3.4.7.7

Subtraia $60 x$ de $60 x$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{0 + 32 + 9}{- 20 x + 3})}$

Etapa 5.3.4.7.8

Some $0$ e $32$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{32 + 9}{- 20 x + 3})}$

Etapa 5.3.4.7.9

Some $32$ e $9$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{41}{- 20 x + 3})}$

Etapa 5.3.5

Combine frações.

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Etapa 5.3.5.1

Combine $5$ e $\frac{41}{- 20 x + 3}$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{\frac{5 \cdot 41}{- 20 x + 3}}$

Etapa 5.3.5.2

Multiplique $5$ por $41$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{\frac{205}{- 20 x + 3}}$

Etapa 5.3.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{205 x}{- 20 x + 3} \cdot \frac{- 20 x + 3}{205}$

Etapa 5.3.7

Cancele o fator comum de $205$ .

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Etapa 5.3.7.1

Fatore $205$ de $205 x$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{205 (x)}{- 20 x + 3} \cdot \frac{- 20 x + 3}{205}$

Etapa 5.3.7.2

Cancele o fator comum.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{205 x}{- 20 x + 3} \cdot \frac{- 20 x + 3}{205}$

Etapa 5.3.7.3

Reescreva a expressão.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{x}{- 20 x + 3} \cdot (- 20 x + 3)$

Etapa 5.3.8

Multiplique $\frac{x}{- 20 x + 3}$ por $- 20 x + 3$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{x (- 20 x + 3)}{- 20 x + 3}$

Etapa 5.3.9

Cancele o fator comum de $- 20 x + 3$ .

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Etapa 5.3.9.1

Cancele o fator comum.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{x (- 20 x + 3)}{- 20 x + 3}$

Etapa 5.3.9.2

Divida $x$ por $1$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$ é o inverso de $f (x) = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$