Trigonometria Exemplos

$\csc (x) (3 \cot^{2} (x) - 1) = 0$

Etapa 1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\csc (x) = 0$

$3 \cot^{2} (x) - 1 = 0$

Etapa 2

Defina $\csc (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.1

Defina $\csc (x)$ como igual a $0$ .

$\csc (x) = 0$

Etapa 2.2

O intervalo da cossecante é $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Como $0$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 3

Defina $3 \cot^{2} (x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $3 \cot^{2} (x) - 1$ como igual a $0$ .

$3 \cot^{2} (x) - 1 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $3 \cot^{2} (x) - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3 \cot^{2} (x) = 1$

Etapa 3.2.2

Divida cada termo em $3 \cot^{2} (x) = 1$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Divida cada termo em $3 \cot^{2} (x) = 1$ por $3$ .

$\frac{3 \cot^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cot^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 3.2.2.2.1.2

Divida $\cot^{2} (x)$ por $1$ .

$\cot^{2} (x) = \frac{1}{3}$

Etapa 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cot (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Etapa 3.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Etapa 3.2.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Etapa 3.2.4.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\cot (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Etapa 3.2.4.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 3.2.4.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.2.4.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 3.2.4.4.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 3.2.4.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 3.2.4.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.2.4.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 3.2.4.4.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 3.2.4.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.2.4.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.2.4.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.2.4.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.4.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.2.4.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 3.2.4.4.6.5

Avalie o expoente.

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 3.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 3.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 3.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 3.2.6

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 3.2.7

Resolva $x$ em $\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Etapa 3.2.7.1

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cotangente.

$x = arccot (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 3.2.7.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.7.2.1

O valor exato de $arccot (\frac{\sqrt{3}}{3})$ é $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 3.2.7.3

A função da cotangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{3}$

Etapa 3.2.7.4

Simplifique $π + \frac{π}{3}$ .

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Etapa 3.2.7.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Etapa 3.2.7.4.2

Combine frações.

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Etapa 3.2.7.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Etapa 3.2.7.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Etapa 3.2.7.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.7.4.3.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Etapa 3.2.7.4.3.2

Some $3 π$ e $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Etapa 3.2.7.5

Encontre o período de $\cot (x)$ .

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Etapa 3.2.7.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 3.2.7.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 3.2.7.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 3.2.7.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 3.2.7.6

O período da função $\cot (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.2.8

Resolva $x$ em $\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Etapa 3.2.8.1

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cotangente.

$x = arccot (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 3.2.8.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.8.2.1

O valor exato de $arccot (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ é $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Etapa 3.2.8.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{2 π}{3} - π$

Etapa 3.2.8.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 3.2.8.4.1

Some $2 π$ a $\frac{2 π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3} - π + 2 π$

Etapa 3.2.8.4.2

O ângulo resultante de $\frac{5 π}{3}$ é positivo e coterminal com $\frac{2 π}{3} - π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Etapa 3.2.8.5

Encontre o período de $\cot (x)$ .

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Etapa 3.2.8.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 3.2.8.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 3.2.8.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 3.2.8.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 3.2.8.6

O período da função $\cot (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.2.9

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.2.10

Consolide as soluções.

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Etapa 3.2.10.1

Consolide $\frac{π}{3} + π n$ e $\frac{4 π}{3} + π n$ em $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.2.10.2

Consolide $\frac{2 π}{3} + π n$ e $\frac{5 π}{3} + π n$ em $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

A solução final são todos os valores que tornam $\csc (x) (3 \cot^{2} (x) - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$