Trigonometria Exemplos

$\arccos (x) + \arccos (2 x) = \frac{π}{3}$

Etapa 1

Se $a = b$ , então, $\cos (a) = \cos (b)$ .

$\cos (\arccos (x) + \arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Aplique a fórmula da soma dos ângulos $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (\arccos (x)) \cos (\arccos (2 x)) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1

As funções cosseno e arco cosseno são inversos.

$x \cos (\arccos (2 x)) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 2.2.2

As funções cosseno e arco cosseno são inversos.

$x (2 x) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 2.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 x \cdot x - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 2.2.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.4.1

Mova $x$ .

$2 (x \cdot x) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 2.2.5

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ e a origem. Então, $\arccos (x)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Portanto, $\sin (\arccos (x))$ é $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$2 x^{2} - \sqrt{1 - x^{2}} \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 2.2.6

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$2 x^{2} - \sqrt{1^{2} - x^{2}} \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 2.2.7

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 2.2.8

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})$ , $(2 x, 0)$ e a origem. Então, $\arccos (2 x)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})$ . Portanto, $\sin (\arccos (2 x))$ é $\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}$ .

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1 - {(2 x)}^{2}} = \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 2.2.9

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}} = \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 2.2.10

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = 2 x$ .

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))} = \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 2.2.11

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} = \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 2.2.12

Combine usando a regra do produto para radicais.

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x) (1 + x) (1 - x)} = \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 3

Expanda o lado direito.

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Etapa 3.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x) (1 + x) (1 - x)} = \frac{1}{2}$

Etapa 4

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 4.1

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

Etapa 5

Exclua as soluções que não tornam $\arccos (x) + \arccos (2 x) = \frac{π}{3}$ verdadeira.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{1}{2}$

Forma decimal:

$x = 0.5$