Trigonometria Exemplos

$8 \sin (x) \cos (x) = \sin (4 x)$

Etapa 1

Subtraia $\sin (4 x)$ dos dois lados da equação.

$8 \sin (x) \cos (x) - \sin (4 x) = 0$

Etapa 2

Simplifique o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Fatore $2$ de $4 x$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - \sin (2 (2 x)) = 0$

Etapa 2.1.2

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$8 \sin (x) \cos (x) - (2 (2 \sin (x) \cos (x)) \cos (2 x)) = 0$

Etapa 2.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 (\sin (x) \cos (x)) \cos (2 x)) = 0$

Etapa 2.1.4

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x))) = 0$

Etapa 2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x))) = 0$

Etapa 2.1.6

Multiplique $4$ por $1$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x))) = 0$

Etapa 2.1.7

Multiplique $\sin (x)$ por $\sin^{2} (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.7.1

Mova $\sin^{2} (x)$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) + 4 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2) = 0$

Etapa 2.1.7.2

Multiplique $\sin^{2} (x)$ por $\sin (x)$ .

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Etapa 2.1.7.2.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) + 4 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2) = 0$

Etapa 2.1.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) + 4 {\sin (x)}^{2 + 1} \cos (x) \cdot - 2) = 0$

Etapa 2.1.7.3

Some $2$ e $1$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin^{3} (x) \cos (x) \cdot - 2) = 0$

Etapa 2.1.8

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x)) = 0$

Etapa 2.1.9

Aplique a propriedade distributiva.

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x)) - (- 8 \sin^{3} (x) \cos (x)) = 0$

Etapa 2.1.10

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - 4 (\sin (x) \cos (x)) - (- 8 \sin^{3} (x) \cos (x)) = 0$

Etapa 2.1.11

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - 4 (\sin (x) \cos (x)) + 8 (\sin^{3} (x) \cos (x)) = 0$

Etapa 2.1.12

Remova os parênteses.

$8 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin (x) \cos (x) + 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $4 \sin (x) \cos (x)$ de $8 \sin (x) \cos (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) + 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Etapa 3

Fatore $4 \sin (x) \cos (x)$ de $4 \sin (x) \cos (x) + 8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

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Etapa 3.1

Fatore $4 \sin (x) \cos (x)$ de $4 \sin (x) \cos (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Etapa 3.2

Fatore $4 \sin (x) \cos (x)$ de $8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 3.3

Fatore $4 \sin (x) \cos (x)$ de $4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) (2 \sin^{2} (x))$ .

$4 \sin (x) \cos (x) (1 + 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) = 0$

$1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 5

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 5.2

Resolva $\sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 5.2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 5.2.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 5.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.2.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Etapa 6.2

Resolva $\cos (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 6.2.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 6.2.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 6.2.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 6.2.4.2

Combine frações.

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Etapa 6.2.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 6.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 6.2.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 6.2.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 6.2.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 6.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 6.2.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Defina $1 + 2 \sin^{2} (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $1 + 2 \sin^{2} (x)$ como igual a $0$ .

$1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 7.2

Resolva $1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 \sin^{2} (x) = - 1$

Etapa 7.2.2

Divida cada termo em $2 \sin^{2} (x) = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 7.2.2.1

Divida cada termo em $2 \sin^{2} (x) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 7.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 7.2.2.2.1.2

Divida $\sin^{2} (x)$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 1}{2}$

Etapa 7.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sin^{2} (x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 7.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Etapa 7.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 7.2.4.1

Reescreva $- \frac{1}{2}$ como $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

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Etapa 7.2.4.1.1

Reescreva $- 1$ como $i^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Etapa 7.2.4.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Etapa 7.2.4.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\sin (x) = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Etapa 7.2.4.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sin (x) = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Etapa 7.2.4.4

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Etapa 7.2.4.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 7.2.4.6

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Etapa 7.2.4.7

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.4.7.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 7.2.4.7.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 7.2.4.7.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 7.2.4.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 7.2.4.7.5

Some $1$ e $1$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 7.2.4.7.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 7.2.4.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 7.2.4.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 7.2.4.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.2.4.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.4.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.2.4.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 7.2.4.7.6.5

Avalie o expoente.

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.2.4.8

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 7.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\sin (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.2.6

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.2.7

Resolva $x$ em $\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 7.2.7.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{i \sqrt{2}}{2})$

Etapa 7.2.7.2

O seno inverso de $\arcsin (\frac{i \sqrt{2}}{2})$ é indefinido.

Indefinido

Etapa 7.2.8

Resolva $x$ em $\sin (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 7.2.8.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Etapa 7.2.8.2

O seno inverso de $\arcsin (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$ é indefinido.

Indefinido

Etapa 7.2.9

Liste todas as soluções.

Nenhuma solução

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $4 \sin (x) \cos (x) (1 + 2 \sin^{2} (x)) = 0$ verdadeiro.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Consolide as respostas.

$x = \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$