Trigonometria Exemplos

$\sec (x) (\sec (x) - \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Simplifique $\sec (x) (\sec (x) - \cos (x))$ .

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Etapa 1.1.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{\cos (x)} (\sec (x) - \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Etapa 1.1.2

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Etapa 1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Etapa 1.1.4

Multiplique $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Etapa 1.1.4.1

Multiplique $\frac{1}{\cos (x)}$ por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Etapa 1.1.4.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Etapa 1.1.4.3

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Etapa 1.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Etapa 1.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Etapa 1.1.5

Simplifique os termos.

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Etapa 1.1.5.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) = \tan^{2} (x)$

Etapa 1.1.5.2

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 1.1.5.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{\cos (x)}$ para o numerador.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} \cos (x) = \tan^{2} (x)$

Etapa 1.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} \cos (x) = \tan^{2} (x)$

Etapa 1.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 1 = \tan^{2} (x)$

Etapa 1.1.5.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.5.3.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1 = \tan^{2} (x)$

Etapa 1.1.5.3.2

Reescreva $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ como ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1 = \tan^{2} (x)$

Etapa 1.1.5.3.3

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\sec^{2} (x) - 1 = \tan^{2} (x)$

Etapa 1.1.6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\tan^{2} (x) = \tan^{2} (x)$

Etapa 2

Como os expoentes são iguais, as bases deles nos dois lados da equação devem ser iguais.

$| \tan (x) | = | \tan (x) |$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação de valor absoluto como quatro equações sem barras de valor absoluto.

$\tan (x) = \tan (x)$

$\tan (x) = - \tan (x)$

$- \tan (x) = \tan (x)$

$- \tan (x) = - \tan (x)$

Etapa 3.2

Depois de simplificar, há apenas duas equações únicas para resolver.

$\tan (x) = \tan (x)$

$\tan (x) = - \tan (x)$

Etapa 3.3

Resolva $\tan (x) = \tan (x)$ para $x$ .

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Etapa 3.3.1

Para que as duas funções sejam iguais, os argumentos de cada uma delas devem ser iguais.

$x = x$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$x - x = 0$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $x$ de $x$ .

$0 = 0$

Etapa 3.3.3

Como $0 = 0$ , a equação sempre será verdadeira.

Todos os números reais

Etapa 3.4

Resolva $\tan (x) = - \tan (x)$ para $x$ .

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Etapa 3.4.1

Mova todos os termos que contêm $\tan (x)$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.4.1.1

Some $\tan (x)$ aos dois lados da equação.

$\tan (x) + \tan (x) = 0$

Etapa 3.4.1.2

Some $\tan (x)$ e $\tan (x)$ .

$2 \tan (x) = 0$

Etapa 3.4.2

Divida cada termo em $2 \tan (x) = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.4.2.1

Divida cada termo em $2 \tan (x) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 \tan (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \tan (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 3.4.2.2.1.2

Divida $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{0}{2}$

Etapa 3.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$\tan (x) = 0$

Etapa 3.4.3

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (0)$

Etapa 3.4.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.4.1

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.4.5

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + 0$

Etapa 3.4.6

Some $π$ e $0$ .

$x = π$

Etapa 3.4.7

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 3.4.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 3.4.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 3.4.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 3.4.7.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 3.4.8

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = π n, π + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Consolide as respostas.

$x = π n$ , para qualquer número inteiro $n$