Trigonometria Exemplos

$f (x) = 2 x^{4} - 19 x^{3} + 33 x^{2} + 59 x - 60$

Etapa 1

Fatore $2 x^{4} - 19 x^{3} + 33 x^{2} + 59 x - 60$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 60, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 1.5, \pm 20, \pm 10, \pm 4, \pm 7.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 12, \pm 6$

Etapa 1.3

Substitua $- 1.5$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1.5$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $- 1.5$ no polinômio.

$2 {(- 1.5)}^{4} - 19 {(- 1.5)}^{3} + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Etapa 1.3.2

Eleve $- 1.5$ à potência de $4$ .

$2 \cdot 5.0625 - 19 {(- 1.5)}^{3} + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $5.0625$ .

$10.125 - 19 {(- 1.5)}^{3} + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Etapa 1.3.4

Eleve $- 1.5$ à potência de $3$ .

$10.125 - 19 \cdot - 3.375 + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Etapa 1.3.5

Multiplique $- 19$ por $- 3.375$ .

$10.125 + 64.125 + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Etapa 1.3.6

Some $10.125$ e $64.125$ .

$74.25 + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Etapa 1.3.7

Eleve $- 1.5$ à potência de $2$ .

$74.25 + 33 \cdot 2.25 + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Etapa 1.3.8

Multiplique $33$ por $2.25$ .

$74.25 + 74.25 + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Etapa 1.3.9

Some $74.25$ e $74.25$ .

$148.5 + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Etapa 1.3.10

Multiplique $59$ por $- 1.5$ .

$148.5 - 88.5 - 60$

Etapa 1.3.11

Subtraia $88.5$ de $148.5$ .

$60 - 60$

Etapa 1.3.12

Subtraia $60$ de $60$ .

$0$

Etapa 1.4

Como $- 1.5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $2 x + 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{4} - 19 x^{3} + 33 x^{2} + 59 x - 60}{2 x + 3}$

Etapa 1.5

Divida $2 x^{4} - 19 x^{3} + 33 x^{2} + 59 x - 60$ por $2 x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

Etapa 1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

$x^{3}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

Etapa 1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

Etapa 1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{4} + 3 x^{3}$ .

$x^{3}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

Etapa 1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

Etapa 1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

Etapa 1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 22 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

Etapa 1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

Etapa 1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 22 x^{3} - 33 x^{2}$ .

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

Etapa 1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

Etapa 1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

Etapa 1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $66 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

Etapa 1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

Etapa 1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $66 x^{2} + 99 x$ .

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

Etapa 1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

Etapa 1.5.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

$60$

Etapa 1.5.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 40 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$20$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

$60$

Etapa 1.5.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$20$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

$60$

$40 x$

$60$

Etapa 1.5.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 40 x - 60$ .

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$20$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

$60$

$40 x$

$60$

Etapa 1.5.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$20$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

$60$

$40 x$

$60$

$0$

Etapa 1.5.21

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20$

Etapa 1.6

Escreva $2 x^{4} - 19 x^{3} + 33 x^{2} + 59 x - 60$ como um conjunto de fatores.

$f (x) = (2 x + 3) (x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20)$

Etapa 2

Fatore $x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore $x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

Etapa 2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Etapa 2.1.3

Substitua $4$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $4$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Substitua $4$ no polinômio.

$4^{3} - 11 \cdot 4^{2} + 33 \cdot 4 - 20$

Etapa 2.1.3.2

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$64 - 11 \cdot 4^{2} + 33 \cdot 4 - 20$

Etapa 2.1.3.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$64 - 11 \cdot 16 + 33 \cdot 4 - 20$

Etapa 2.1.3.4

Multiplique $- 11$ por $16$ .

$64 - 176 + 33 \cdot 4 - 20$

Etapa 2.1.3.5

Subtraia $176$ de $64$ .

$- 112 + 33 \cdot 4 - 20$

Etapa 2.1.3.6

Multiplique $33$ por $4$ .

$- 112 + 132 - 20$

Etapa 2.1.3.7

Some $- 112$ e $132$ .

$20 - 20$

Etapa 2.1.3.8

Subtraia $20$ de $20$ .

$0$

Etapa 2.1.4

Como $4$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 4$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20}{x - 4}$

Etapa 2.1.5

Divida $x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20$ por $x - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$20$

Etapa 2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$

Etapa 2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Etapa 2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - 4 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Etapa 2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$

Etapa 2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$

Etapa 2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 7 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$

Etapa 2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$28 x$

Etapa 2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 7 x^{2} + 28 x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$

Etapa 2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$

Etapa 2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$	-	$20$

Etapa 2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $5 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$	-	$20$

Etapa 2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							+	$5 x$	-	$20$

Etapa 2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $5 x - 20$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							-	$5 x$	+	$20$

Etapa 2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							-	$5 x$	+	$20$
										$0$

Etapa 2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 7 x + 5$

Etapa 2.1.6

Escreva $x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20$ como um conjunto de fatores.

$f (x) = (2 x + 3) ((x - 4) (x^{2} - 7 x + 5))$

Etapa 2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$f (x) = (2 x + 3) (x - 4) (x^{2} - 7 x + 5)$