Trigonometria Exemplos

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{25} = 1$

Etapa 1

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{25} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = 4$

$b = 5$

$k = - 3$

$h = - 4$

Etapa 4

O centro de uma hipérbole segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(- 4, - 3)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(5)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\sqrt{16 + {(5)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\sqrt{16 + 25}$

Etapa 5.3.3

Some $16$ e $25$ .

$\sqrt{41}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

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Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(0, - 3)$

Etapa 6.3

O segundo vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 8, - 3)$

Etapa 6.5

Os vértices de uma hipérbole seguem a forma $(h \pm a, k)$ . As hipérboles têm dois vértices.

$(0, - 3), (- 8, - 3)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

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Etapa 7.1

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 4 + \sqrt{41}, - 3)$

Etapa 7.3

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 4 - \sqrt{41}, - 3)$

Etapa 7.5

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

$(- 4 + \sqrt{41}, - 3), (- 4 - \sqrt{41}, - 3)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

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Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(5)}^{2}}}{4}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 5^{2}}}{4}$

Etapa 8.3.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 25}}{4}$

Etapa 8.3.3

Some $16$ e $25$ .

$\frac{\sqrt{41}}{4}$

Etapa 9

Encontre o parâmetro focal.

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Etapa 9.1

Encontre o valor do parâmetro focal da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Etapa 9.2

Substitua os valores de $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ na fórmula.

$\frac{5^{2}}{\sqrt{41}}$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{25}{\sqrt{41}}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $\frac{25}{\sqrt{41}}$ por $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ .

$\frac{25}{\sqrt{41}} \cdot \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$

Etapa 9.3.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 9.3.3.1

Multiplique $\frac{25}{\sqrt{41}}$ por $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ .

$\frac{25 \sqrt{41}}{\sqrt{41} \sqrt{41}}$

Etapa 9.3.3.2

Eleve $\sqrt{41}$ à potência de $1$ .

$\frac{25 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1} \sqrt{41}}$

Etapa 9.3.3.3

Eleve $\sqrt{41}$ à potência de $1$ .

$\frac{25 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1} {\sqrt{41}}^{1}}$

Etapa 9.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{25 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1 + 1}}$

Etapa 9.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{25 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{2}}$

Etapa 9.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{41}}^{2}$ como $41$ .

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Etapa 9.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{41}$ como $41^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{25 \sqrt{41}}{{(41^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{25 \sqrt{41}}{41^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{25 \sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{25 \sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{25 \sqrt{41}}{41^{1}}$

Etapa 9.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{25 \sqrt{41}}{41}$

Etapa 10

As assíntotas seguem a forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , porque esta hipérbole se abre para a esquerda e para a direita.

$y = \pm \frac{5}{4} \cdot (x - (- 4)) - 3$

Etapa 11

Simplifique para encontrar a primeira assíntota.

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Etapa 11.1

Remova os parênteses.

$y = \frac{5}{4} \cdot (x - (- 4)) - 3$

Etapa 11.2

Simplifique $\frac{5}{4} \cdot (x - (- 4)) - 3$ .

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{5}{4} \cdot (x + 4) - 3$

Etapa 11.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{5}{4} x + \frac{5}{4} \cdot 4 - 3$

Etapa 11.2.1.3

Combine $\frac{5}{4}$ e $x$ .

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{4} \cdot 4 - 3$

Etapa 11.2.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{4} \cdot 4 - 3$

Etapa 11.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{5 x}{4} + 5 - 3$

Etapa 11.2.2

Subtraia $3$ de $5$ .

$y = \frac{5 x}{4} + 2$

Etapa 12

Simplifique para encontrar a segunda assíntota.

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Etapa 12.1

Remova os parênteses.

$y = - \frac{5}{4} \cdot (x - (- 4)) - 3$

Etapa 12.2

Simplifique $- \frac{5}{4} \cdot (x - (- 4)) - 3$ .

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Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$y = - \frac{5}{4} \cdot (x + 4) - 3$

Etapa 12.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - \frac{5}{4} x - \frac{5}{4} \cdot 4 - 3$

Etapa 12.2.1.3

Combine $x$ e $\frac{5}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} - \frac{5}{4} \cdot 4 - 3$

Etapa 12.2.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{5}{4}$ para o numerador.

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{4} \cdot 4 - 3$

Etapa 12.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{4} \cdot 4 - 3$

Etapa 12.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} - 5 - 3$

Etapa 12.2.1.5

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$y = - \frac{5 x}{4} - 5 - 3$

Etapa 12.2.2

Subtraia $3$ de $- 5$ .

$y = - \frac{5 x}{4} - 8$

Etapa 13

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = \frac{5 x}{4} + 2, y = - \frac{5 x}{4} - 8$

Etapa 14

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma hipérbole.

Centro: $(- 4, - 3)$

Vértices: $(0, - 3), (- 8, - 3)$

Ponto imaginário: $(- 4 + \sqrt{41}, - 3), (- 4 - \sqrt{41}, - 3)$

Excentricidade: $\frac{\sqrt{41}}{4}$

Parâmetro focal: $\frac{25 \sqrt{41}}{41}$

Assíntotas: $y = \frac{5 x}{4} + 2$ , $y = - \frac{5 x}{4} - 8$

Etapa 15