Trigonometria Exemplos

$\csc (x) > 0$ , $\cot (x) < 0$

Etapa 1

O intervalo da cossecante é $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Como $0$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 2

Resolva $\cot (x) < 0$ para $x$ .

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Etapa 2.1

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cotangente.

$x < arccot (0)$

Etapa 2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.1

O valor exato de $arccot (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x < \frac{π}{2}$

Etapa 2.3

A função da cotangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{2}$

Etapa 2.4

Simplifique $π + \frac{π}{2}$ .

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Etapa 2.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 2.4.2

Combine frações.

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Etapa 2.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Etapa 2.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Etapa 2.4.3.2

Some $2 π$ e $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 2.5

Encontre o período de $\cot (x)$ .

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Etapa 2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 2.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 2.6

O período da função $\cot (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.7

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.8

Encontre o domínio de $\cot (x)$ .

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Etapa 2.8.1

Defina o argumento em $\cot (x)$ como igual a $π n$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.8.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

${x | x \neq π n}$ $n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$0 < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < π$

$π < x < \frac{3 π}{2}$

Etapa 2.10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.10.1

Teste um valor no intervalo $0 < x < \frac{π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.10.1.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < \frac{π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1$

Etapa 2.10.1.2

Substitua $x$ por $1$ na desigualdade original.

$\cot (1) < 0$

Etapa 2.10.1.3

O lado esquerdo $0.64209261$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 2.10.2

Teste um valor no intervalo $\frac{π}{2} < x < π$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.10.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{π}{2} < x < π$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 2.10.2.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\cot (2) < 0$

Etapa 2.10.2.3

O lado esquerdo $- 0.45765755$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 2.10.3

Teste um valor no intervalo $π < x < \frac{3 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.10.3.1

Escolha um valor no intervalo $π < x < \frac{3 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 2.10.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\cot (4) < 0$

Etapa 2.10.3.3

O lado esquerdo $0.86369115$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 2.10.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$0 < x < \frac{π}{2}$ Falso

$\frac{π}{2} < x < π$ Verdadeiro

$π < x < \frac{3 π}{2}$ Falso

$0 < x < \frac{π}{2}$ Falso

$\frac{π}{2} < x < π$ Verdadeiro

$π < x < \frac{3 π}{2}$ Falso

Etapa 2.11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Find the intersection of No solution and $\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ .

Nenhuma solução