Trigonometria Exemplos

$y = - x^{2} + 9 x + 14$

Etapa 1

Encontre as propriedades da parábola em questão.

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Etapa 1.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

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Etapa 1.1.1

Complete o quadrado de $- x^{2} + 9 x + 14$ .

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Etapa 1.1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 9$

$c = 14$

Etapa 1.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 1.1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{9}{2 \cdot - 1}$

Etapa 1.1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.1.3.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$d = \frac{9}{- 2}$

Etapa 1.1.1.3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$d = - \frac{9}{2}$

Etapa 1.1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 1.1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 14 - \frac{9^{2}}{4 \cdot - 1}$

Etapa 1.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.2.1.1

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$e = 14 - \frac{81}{4 \cdot - 1}$

Etapa 1.1.1.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$e = 14 - \frac{81}{- 4}$

Etapa 1.1.1.4.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e = 14 - - \frac{81}{4}$

Etapa 1.1.1.4.2.1.4

Multiplique $- - \frac{81}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e = 14 + 1 (\frac{81}{4})$

Etapa 1.1.1.4.2.1.4.2

Multiplique $\frac{81}{4}$ por $1$ .

$e = 14 + \frac{81}{4}$

Etapa 1.1.1.4.2.2

Para escrever $14$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$e = 14 \cdot \frac{4}{4} + \frac{81}{4}$

Etapa 1.1.1.4.2.3

Combine $14$ e $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{14 \cdot 4}{4} + \frac{81}{4}$

Etapa 1.1.1.4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{14 \cdot 4 + 81}{4}$

Etapa 1.1.1.4.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.1.4.2.5.1

Multiplique $14$ por $4$ .

$e = \frac{56 + 81}{4}$

Etapa 1.1.1.4.2.5.2

Some $56$ e $81$ .

$e = \frac{137}{4}$

Etapa 1.1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- {(x - \frac{9}{2})}^{2} + \frac{137}{4}$ .

$- {(x - \frac{9}{2})}^{2} + \frac{137}{4}$

Etapa 1.1.2

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = - {(x - \frac{9}{2})}^{2} + \frac{137}{4}$

Etapa 1.2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - 1$

$h = \frac{9}{2}$

$k = \frac{137}{4}$

Etapa 1.3

Como o valor de $a$ é negativo, a parábola abre para baixo.

Abre para baixo

Etapa 1.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(\frac{9}{2}, \frac{137}{4})$

Etapa 1.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 1.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 1.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Etapa 1.5.3

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 1.5.3.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Etapa 1.5.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4}$

Etapa 1.6

Encontre o foco.

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Etapa 1.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 1.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(\frac{9}{2}, 34)$

Etapa 1.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = \frac{9}{2}$

Etapa 1.8

Encontre a diretriz.

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Etapa 1.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 1.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = \frac{69}{2}$

Etapa 1.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(\frac{9}{2}, \frac{137}{4})$

Foco: $(\frac{9}{2}, 34)$

Eixo de simetria: $x = \frac{9}{2}$

Diretriz: $y = \frac{69}{2}$

Direção: abre para baixo

Vértice: $(\frac{9}{2}, \frac{137}{4})$

Foco: $(\frac{9}{2}, 34)$

Eixo de simetria: $x = \frac{9}{2}$

Diretriz: $y = \frac{69}{2}$

Etapa 2

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = - {(3)}^{2} + 9 (3) + 14$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (3) = - 1 \cdot 9 + 9 (3) + 14$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$f (3) = - 9 + 9 (3) + 14$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique $9$ por $3$ .

$f (3) = - 9 + 27 + 14$

Etapa 2.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 2.2.2.1

Some $- 9$ e $27$ .

$f (3) = 18 + 14$

Etapa 2.2.2.2

Some $18$ e $14$ .

$f (3) = 32$

Etapa 2.2.3

A resposta final é $32$ .

$32$

Etapa 2.3

O valor $y$ em $x = 3$ é $32$ .

$y = 32$

Etapa 2.4

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = - {(2)}^{2} + 9 (2) + 14$

Etapa 2.5

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = - 1 \cdot 4 + 9 (2) + 14$

Etapa 2.5.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f (2) = - 4 + 9 (2) + 14$

Etapa 2.5.1.3

Multiplique $9$ por $2$ .

$f (2) = - 4 + 18 + 14$

Etapa 2.5.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Some $- 4$ e $18$ .

$f (2) = 14 + 14$

Etapa 2.5.2.2

Some $14$ e $14$ .

$f (2) = 28$

Etapa 2.5.3

A resposta final é $28$ .

$28$

Etapa 2.6

O valor $y$ em $x = 2$ é $28$ .

$y = 28$

Etapa 2.7

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f (5) = - {(5)}^{2} + 9 (5) + 14$

Etapa 2.8

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (5) = - 1 \cdot 25 + 9 (5) + 14$

Etapa 2.8.1.2

Multiplique $- 1$ por $25$ .

$f (5) = - 25 + 9 (5) + 14$

Etapa 2.8.1.3

Multiplique $9$ por $5$ .

$f (5) = - 25 + 45 + 14$

Etapa 2.8.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

Some $- 25$ e $45$ .

$f (5) = 20 + 14$

Etapa 2.8.2.2

Some $20$ e $14$ .

$f (5) = 34$

Etapa 2.8.3

A resposta final é $34$ .

$34$

Etapa 2.9

O valor $y$ em $x = 5$ é $34$ .

$y = 34$

Etapa 2.10

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f (6) = - {(6)}^{2} + 9 (6) + 14$

Etapa 2.11

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f (6) = - 1 \cdot 36 + 9 (6) + 14$

Etapa 2.11.1.2

Multiplique $- 1$ por $36$ .

$f (6) = - 36 + 9 (6) + 14$

Etapa 2.11.1.3

Multiplique $9$ por $6$ .

$f (6) = - 36 + 54 + 14$

Etapa 2.11.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.2.1

Some $- 36$ e $54$ .

$f (6) = 18 + 14$

Etapa 2.11.2.2

Some $18$ e $14$ .

$f (6) = 32$

Etapa 2.11.3

A resposta final é $32$ .

$32$

Etapa 2.12

O valor $y$ em $x = 6$ é $32$ .

$y = 32$

Etapa 2.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 28 \\ 3 & 32 \\ \frac{9}{2} & \frac{137}{4} \\ 5 & 34 \\ 6 & 32 \end{array}$

Etapa 3

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(\frac{9}{2}, \frac{137}{4})$

Foco: $(\frac{9}{2}, 34)$

Eixo de simetria: $x = \frac{9}{2}$

Diretriz: $y = \frac{69}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 28 \\ 3 & 32 \\ \frac{9}{2} & \frac{137}{4} \\ 5 & 34 \\ 6 & 32 \end{array}$

Etapa 4