Trigonometria Exemplos

$y = \frac{2}{5} \cdot {(x - 4)}^{2} - 3$

Etapa 1

Encontre as propriedades da parábola em questão.

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Etapa 1.1

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{2}{5}$

$h = 4$

$k = - 3$

Etapa 1.2

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para cima.

Abre para cima

Etapa 1.3

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(4, - 3)$

Etapa 1.4

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 1.4.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 1.4.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{2}{5}}$

Etapa 1.4.3

Simplifique.

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Etapa 1.4.3.1

Combine $4$ e $\frac{2}{5}$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 2}{5}}$

Etapa 1.4.3.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{1}{\frac{8}{5}}$

Etapa 1.4.3.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 (\frac{5}{8})$

Etapa 1.4.3.4

Multiplique $\frac{5}{8}$ por $1$ .

$\frac{5}{8}$

Etapa 1.5

Encontre o foco.

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Etapa 1.5.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 1.5.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(4, - \frac{19}{8})$

Etapa 1.6

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = 4$

Etapa 1.7

Encontre a diretriz.

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Etapa 1.7.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 1.7.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = - \frac{29}{8}$

Etapa 1.8

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para cima

Vértice: $(4, - 3)$

Foco: $(4, - \frac{19}{8})$

Eixo de simetria: $x = 4$

Diretriz: $y = - \frac{29}{8}$

Direção: abre para cima

Vértice: $(4, - 3)$

Foco: $(4, - \frac{19}{8})$

Eixo de simetria: $x = 4$

Diretriz: $y = - \frac{29}{8}$

Etapa 2

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = \frac{2 {(3)}^{2}}{5} - \frac{16 (3)}{5} + \frac{17}{5}$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (3) = \frac{2 {(3)}^{2} - 16 \cdot 3 + 17}{5}$

Etapa 2.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.2.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (3) = \frac{2 \cdot 9 - 16 \cdot 3 + 17}{5}$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $2$ por $9$ .

$f (3) = \frac{18 - 16 \cdot 3 + 17}{5}$

Etapa 2.2.2.3

Multiplique $- 16$ por $3$ .

$f (3) = \frac{18 - 48 + 17}{5}$

Etapa 2.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.3.1

Subtraia $48$ de $18$ .

$f (3) = \frac{- 30 + 17}{5}$

Etapa 2.2.3.2

Some $- 30$ e $17$ .

$f (3) = \frac{- 13}{5}$

Etapa 2.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (3) = - \frac{13}{5}$

Etapa 2.2.4

A resposta final é $- \frac{13}{5}$ .

$- \frac{13}{5}$

Etapa 2.3

O valor $y$ em $x = 3$ é $- \frac{13}{5}$ .

$y = - \frac{13}{5}$

Etapa 2.4

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{2}}{5} - \frac{16 (2)}{5} + \frac{17}{5}$

Etapa 2.5

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.5.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{2} - 16 \cdot 2 + 17}{5}$

Etapa 2.5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.2.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.5.2.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{2}$ .

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Etapa 2.5.2.1.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{2} - 16 \cdot 2 + 17}{5}$

Etapa 2.5.2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (2) = \frac{2^{1 + 2} - 16 \cdot 2 + 17}{5}$

Etapa 2.5.2.1.2

Some $1$ e $2$ .

$f (2) = \frac{2^{3} - 16 \cdot 2 + 17}{5}$

Etapa 2.5.2.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (2) = \frac{8 - 16 \cdot 2 + 17}{5}$

Etapa 2.5.2.3

Multiplique $- 16$ por $2$ .

$f (2) = \frac{8 - 32 + 17}{5}$

Etapa 2.5.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.3.1

Subtraia $32$ de $8$ .

$f (2) = \frac{- 24 + 17}{5}$

Etapa 2.5.3.2

Some $- 24$ e $17$ .

$f (2) = \frac{- 7}{5}$

Etapa 2.5.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (2) = - \frac{7}{5}$

Etapa 2.5.4

A resposta final é $- \frac{7}{5}$ .

$- \frac{7}{5}$

Etapa 2.6

O valor $y$ em $x = 2$ é $- \frac{7}{5}$ .

$y = - \frac{7}{5}$

Etapa 2.7

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f (5) = \frac{2 {(5)}^{2}}{5} - \frac{16 (5)}{5} + \frac{17}{5}$

Etapa 2.8

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.8.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (5) = \frac{2 {(5)}^{2} - 16 \cdot 5 + 17}{5}$

Etapa 2.8.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.8.2.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (5) = \frac{2 \cdot 25 - 16 \cdot 5 + 17}{5}$

Etapa 2.8.2.2

Multiplique $2$ por $25$ .

$f (5) = \frac{50 - 16 \cdot 5 + 17}{5}$

Etapa 2.8.2.3

Multiplique $- 16$ por $5$ .

$f (5) = \frac{50 - 80 + 17}{5}$

Etapa 2.8.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.8.3.1

Subtraia $80$ de $50$ .

$f (5) = \frac{- 30 + 17}{5}$

Etapa 2.8.3.2

Some $- 30$ e $17$ .

$f (5) = \frac{- 13}{5}$

Etapa 2.8.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (5) = - \frac{13}{5}$

Etapa 2.8.4

A resposta final é $- \frac{13}{5}$ .

$- \frac{13}{5}$

Etapa 2.9

O valor $y$ em $x = 5$ é $- \frac{13}{5}$ .

$y = - \frac{13}{5}$

Etapa 2.10

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f (6) = \frac{2 {(6)}^{2}}{5} - \frac{16 (6)}{5} + \frac{17}{5}$

Etapa 2.11

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.11.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (6) = \frac{2 {(6)}^{2} - 16 \cdot 6 + 17}{5}$

Etapa 2.11.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.11.2.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f (6) = \frac{2 \cdot 36 - 16 \cdot 6 + 17}{5}$

Etapa 2.11.2.2

Multiplique $2$ por $36$ .

$f (6) = \frac{72 - 16 \cdot 6 + 17}{5}$

Etapa 2.11.2.3

Multiplique $- 16$ por $6$ .

$f (6) = \frac{72 - 96 + 17}{5}$

Etapa 2.11.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.11.3.1

Subtraia $96$ de $72$ .

$f (6) = \frac{- 24 + 17}{5}$

Etapa 2.11.3.2

Some $- 24$ e $17$ .

$f (6) = \frac{- 7}{5}$

Etapa 2.11.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (6) = - \frac{7}{5}$

Etapa 2.11.4

A resposta final é $- \frac{7}{5}$ .

$- \frac{7}{5}$

Etapa 2.12

O valor $y$ em $x = 6$ é $- \frac{7}{5}$ .

$y = - \frac{7}{5}$

Etapa 2.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - \frac{7}{5} \\ 3 & - \frac{13}{5} \\ 4 & - 3 \\ 5 & - \frac{13}{5} \\ 6 & - \frac{7}{5} \end{array}$

Etapa 3

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para cima

Vértice: $(4, - 3)$

Foco: $(4, - \frac{19}{8})$

Eixo de simetria: $x = 4$

Diretriz: $y = - \frac{29}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - \frac{7}{5} \\ 3 & - \frac{13}{5} \\ 4 & - 3 \\ 5 & - \frac{13}{5} \\ 6 & - \frac{7}{5} \end{array}$

Etapa 4