Trigonometria Exemplos

$y = - 2 \sec (5 x + \frac{5 π}{7}) + 1$

Etapa 1

Encontre as assíntotas.

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Etapa 1.1

Em qualquer $y = \sec (x)$ , as assíntotas verticais ocorrem em $x = \frac{π}{2} + n π$ , em que $n$ é um número inteiro. Use o período básico de $y = s e c (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , para encontrar as assíntotas verticais de $y = - 2 \sec (5 x + \frac{5 π}{7}) + 1$ . Defina a parte interna da função secante, $b x + c$ , para $y = a \sec (b x + c) + d$ igual a $- \frac{π}{2}$ para encontrar onde a assíntota vertical ocorre para $y = - 2 \sec (5 x + \frac{5 π}{7}) + 1$ .

$5 x + \frac{5 π}{7} = - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.2.1.1

Subtraia $\frac{5 π}{7}$ dos dois lados da equação.

$5 x = - \frac{π}{2} - \frac{5 π}{7}$

Etapa 1.2.1.2

Para escrever $- \frac{π}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$5 x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{7}{7} - \frac{5 π}{7}$

Etapa 1.2.1.3

Para escrever $- \frac{5 π}{7}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$5 x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{7}{7} - \frac{5 π}{7} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 1.2.1.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $14$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.2.1.4.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{7}{7}$ .

$5 x = - \frac{π \cdot 7}{2 \cdot 7} - \frac{5 π}{7} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 1.2.1.4.2

Multiplique $2$ por $7$ .

$5 x = - \frac{π \cdot 7}{14} - \frac{5 π}{7} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 1.2.1.4.3

Multiplique $\frac{5 π}{7}$ por $\frac{2}{2}$ .

$5 x = - \frac{π \cdot 7}{14} - \frac{5 π \cdot 2}{7 \cdot 2}$

Etapa 1.2.1.4.4

Multiplique $7$ por $2$ .

$5 x = - \frac{π \cdot 7}{14} - \frac{5 π \cdot 2}{14}$

Etapa 1.2.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 x = \frac{- π \cdot 7 - 5 π \cdot 2}{14}$

Etapa 1.2.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.1.6.1

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$5 x = \frac{- 7 π - 5 π \cdot 2}{14}$

Etapa 1.2.1.6.2

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$5 x = \frac{- 7 π - 10 π}{14}$

Etapa 1.2.1.6.3

Subtraia $10 π$ de $- 7 π$ .

$5 x = \frac{- 17 π}{14}$

Etapa 1.2.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$5 x = - \frac{17 π}{14}$

Etapa 1.2.2

Divida cada termo em $5 x = - \frac{17 π}{14}$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 1.2.2.1

Divida cada termo em $5 x = - \frac{17 π}{14}$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \frac{17 π}{14}}{5}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 1.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \frac{17 π}{14}}{5}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{17 π}{14}}{5}$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = - \frac{17 π}{14} \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 1.2.2.3.2

Multiplique $- \frac{17 π}{14} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Etapa 1.2.2.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{17 π}{14}$ .

$x = - \frac{17 π}{5 \cdot 14}$

Etapa 1.2.2.3.2.2

Multiplique $5$ por $14$ .

$x = - \frac{17 π}{70}$

Etapa 1.3

Defina a parte interna da função secante $5 x + \frac{5 π}{7}$ como igual a $\frac{3 π}{2}$ .

$5 x + \frac{5 π}{7} = \frac{3 π}{2}$

Etapa 1.4

Resolva $x$ .

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Etapa 1.4.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.4.1.1

Subtraia $\frac{5 π}{7}$ dos dois lados da equação.

$5 x = \frac{3 π}{2} - \frac{5 π}{7}$

Etapa 1.4.1.2

Para escrever $\frac{3 π}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$5 x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{7}{7} - \frac{5 π}{7}$

Etapa 1.4.1.3

Para escrever $- \frac{5 π}{7}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$5 x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{7}{7} - \frac{5 π}{7} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 1.4.1.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $14$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.4.1.4.1

Multiplique $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{7}{7}$ .

$5 x = \frac{3 π \cdot 7}{2 \cdot 7} - \frac{5 π}{7} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 1.4.1.4.2

Multiplique $2$ por $7$ .

$5 x = \frac{3 π \cdot 7}{14} - \frac{5 π}{7} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 1.4.1.4.3

Multiplique $\frac{5 π}{7}$ por $\frac{2}{2}$ .

$5 x = \frac{3 π \cdot 7}{14} - \frac{5 π \cdot 2}{7 \cdot 2}$

Etapa 1.4.1.4.4

Multiplique $7$ por $2$ .

$5 x = \frac{3 π \cdot 7}{14} - \frac{5 π \cdot 2}{14}$

Etapa 1.4.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 x = \frac{3 π \cdot 7 - 5 π \cdot 2}{14}$

Etapa 1.4.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.4.1.6.1

Multiplique $7$ por $3$ .

$5 x = \frac{21 π - 5 π \cdot 2}{14}$

Etapa 1.4.1.6.2

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$5 x = \frac{21 π - 10 π}{14}$

Etapa 1.4.1.6.3

Subtraia $10 π$ de $21 π$ .

$5 x = \frac{11 π}{14}$

Etapa 1.4.2

Divida cada termo em $5 x = \frac{11 π}{14}$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 1.4.2.1

Divida cada termo em $5 x = \frac{11 π}{14}$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{11 π}{14}}{5}$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 1.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{11 π}{14}}{5}$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{11 π}{14}}{5}$

Etapa 1.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.4.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{11 π}{14} \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 1.4.2.3.2

Multiplique $\frac{11 π}{14} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Etapa 1.4.2.3.2.1

Multiplique $\frac{11 π}{14}$ por $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{11 π}{14 \cdot 5}$

Etapa 1.4.2.3.2.2

Multiplique $14$ por $5$ .

$x = \frac{11 π}{70}$

Etapa 1.5

O período básico para $y = - 2 \sec (5 x + \frac{5 π}{7}) + 1$ ocorrerá em $(- \frac{17 π}{70}, \frac{11 π}{70})$ , em que $- \frac{17 π}{70}$ e $\frac{11 π}{70}$ são assíntotas verticais.

$(- \frac{17 π}{70}, \frac{11 π}{70})$

Etapa 1.6

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $5$ é $5$ .

$\frac{2 π}{5}$

Etapa 1.7

As assíntotas verticais de $y = - 2 \sec (5 x + \frac{5 π}{7}) + 1$ ocorrem em $- \frac{17 π}{70}$ , $\frac{11 π}{70}$ e a cada $x = - \frac{17 π}{70} + \frac{π n}{5}$ , em que $n$ é um número inteiro. Isso é metade do período.

$x = - \frac{17 π}{70} + \frac{π n}{5}$

Etapa 1.8

A secante só tem assíntotas verticais.

Nenhuma assíntota horizontal

Nenhuma assíntota oblíqua

Assíntotas verticais: $x = - \frac{17 π}{70} + \frac{π n}{5}$ , em que $n$ é um número inteiro

Nenhuma assíntota horizontal

Nenhuma assíntota oblíqua

Assíntotas verticais: $x = - \frac{17 π}{70} + \frac{π n}{5}$ , em que $n$ é um número inteiro

Etapa 2

Use a forma $a \sec (b x - c) + d$ para encontrar as variáveis usadas para encontrar a amplitude, o período, a mudança de fase e o deslocamento vertical.

$a = - 2$

$b = 5$

$c = - \frac{5 π}{7}$

$d = 1$

Etapa 3

Como o gráfico da função $s e c$ não tem um valor máximo nem mínimo, não pode haver valor para a amplitude.

Amplitude: nenhuma

Etapa 4

Encontre o período usando a fórmula $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Etapa 4.1

Encontre o período de $- 2 \sec (5 x + \frac{5 π}{7})$ .

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Etapa 4.1.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.1.2

Substitua $b$ por $5$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 5 |}$

Etapa 4.1.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $5$ é $5$ .

$\frac{2 π}{5}$

Etapa 4.2

Encontre o período de $1$ .

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Etapa 4.2.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2.2

Substitua $b$ por $5$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 5 |}$

Etapa 4.2.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $5$ é $5$ .

$\frac{2 π}{5}$

Etapa 4.3

O período de adição/subtração das funções trigonométricas é o máximo dos períodos individuais.

$\frac{2 π}{5}$

Etapa 5

Encontre a mudança de fase usando a fórmula $\frac{c}{b}$ .

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Etapa 5.1

A mudança de fase da função pode ser calculada a partir de $\frac{c}{b}$ .

Mudança de fase: $\frac{c}{b}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $c$ e $b$ na equação para mudança de fase.

Mudança de fase: $\frac{- \frac{5 π}{7}}{5}$

Etapa 5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

Mudança de fase: $- \frac{5 π}{7} \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{5 π}{7}$ para o numerador.

Mudança de fase: $\frac{- 5 π}{7} \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 5.4.2

Fatore $5$ de $- 5 π$ .

Mudança de fase: $\frac{5 (- π)}{7} \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 5.4.3

Cancele o fator comum.

Mudança de fase: $\frac{5 (- π)}{7} \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 5.4.4

Reescreva a expressão.

Mudança de fase: $\frac{- π}{7}$

Etapa 5.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

Mudança de fase: $- \frac{π}{7}$

Etapa 6

Liste as propriedades da função trigonométrica.

Amplitude: nenhuma

Período: $\frac{2 π}{5}$

Mudança de fase: $- \frac{π}{7}$ ( $\frac{π}{7}$ para a esquerda)

Deslocamento vertical: $1$

Etapa 7

A função trigonométrica pode ser representada no gráfico usando a amplitude, o período, a mudança de fase, o deslocamento vertical e os pontos.

Assíntotas verticais: $x = - \frac{17 π}{70} + \frac{π n}{5}$ , em que $n$ é um número inteiro

Amplitude: nenhuma

Período: $\frac{2 π}{5}$

Mudança de fase: $- \frac{π}{7}$ ( $\frac{π}{7}$ para a esquerda)

Deslocamento vertical: $1$

Etapa 8