Trigonometria Exemplos

$y = 8 \cos (4 π x - \frac{π}{2})$

Etapa 1

Use a forma $a \cos (b x - c) + d$ para encontrar as variáveis usadas para encontrar a amplitude, o período, a mudança de fase e o deslocamento vertical.

$a = 8$

$b = 4 π$

$c = \frac{π}{2}$

$d = 0$

Etapa 2

Encontre a amplitude $| a |$ .

Amplitude: $8$

Etapa 3

Encontre o período de $8 \cos (4 π x - \frac{π}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.2

Substitua $b$ por $4 π$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 4 π |}$

Etapa 3.3

$4 π$ é aproximadamente $12.56637061$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{4 π}$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Fatore $2$ de $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4 π}$

Etapa 3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Fatore $2$ de $4 π$ .

$\frac{2 (π)}{2 (2 π)}$

Etapa 3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2 (2 π)}$

Etapa 3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{π}{2 π}$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{π}{2 π}$

Etapa 3.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2}$

Etapa 4

Encontre a mudança de fase usando a fórmula $\frac{c}{b}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

A mudança de fase da função pode ser calculada a partir de $\frac{c}{b}$ .

Mudança de fase: $\frac{c}{b}$

Etapa 4.2

Substitua os valores de $c$ e $b$ na equação para mudança de fase.

Mudança de fase: $\frac{\frac{π}{2}}{4 π}$

Etapa 4.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

Mudança de fase: $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4 π}$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Fatore $π$ de $4 π$ .

Mudança de fase: $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π \cdot 4}$

Etapa 4.4.2

Cancele o fator comum.

Mudança de fase: $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π \cdot 4}$

Etapa 4.4.3

Reescreva a expressão.

Mudança de fase: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 4.5

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

Mudança de fase: $\frac{1}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.6

Multiplique $2$ por $4$ .

Mudança de fase: $\frac{1}{8}$

Etapa 5

Liste as propriedades da função trigonométrica.

Amplitude: $8$

Período: $\frac{1}{2}$

Mudança de fase: $\frac{1}{8}$ ( $\frac{1}{8}$ para a direita)

Deslocamento vertical: nenhum

Etapa 6

Selecione alguns pontos para representar em gráfico.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Encontre o ponto em $x = \frac{1}{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{8}$ na expressão.

$f (\frac{1}{8}) = 8 \cos (4 π (\frac{1}{8}) - \frac{π}{2})$

Etapa 6.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1.1.1

Fatore $4$ de $4 π$ .

$f (\frac{1}{8}) = 8 \cos (4 (π) (\frac{1}{8}) - \frac{π}{2})$

Etapa 6.1.2.1.1.2

Fatore $4$ de $8$ .

$f (\frac{1}{8}) = 8 \cos (4 (π) (\frac{1}{4 (2)}) - \frac{π}{2})$

Etapa 6.1.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{8}) = 8 \cos (4 π (\frac{1}{4 \cdot 2}) - \frac{π}{2})$

Etapa 6.1.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{8}) = 8 \cos (π (\frac{1}{2}) - \frac{π}{2})$

Etapa 6.1.2.1.2

Combine $π$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{8}) = 8 \cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 6.1.2.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{1}{8}) = 8 \cos (\frac{π - π}{2})$

Etapa 6.1.2.2.2

Subtraia $π$ de $π$ .

$f (\frac{1}{8}) = 8 \cos (\frac{0}{2})$

Etapa 6.1.2.2.3

Divida $0$ por $2$ .

$f (\frac{1}{8}) = 8 \cos (0)$

Etapa 6.1.2.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (\frac{1}{8}) = 8 \cdot 1$

Etapa 6.1.2.4

Multiplique $8$ por $1$ .

$f (\frac{1}{8}) = 8$

Etapa 6.1.2.5

A resposta final é $8$ .

$8$

Etapa 6.2

Encontre o ponto em $x = \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{4}$ na expressão.

$f (\frac{1}{4}) = 8 \cos (4 π (\frac{1}{4}) - \frac{π}{2})$

Etapa 6.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Fatore $4$ de $4 π$ .

$f (\frac{1}{4}) = 8 \cos (4 (π) (\frac{1}{4}) - \frac{π}{2})$

Etapa 6.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{4}) = 8 \cos (4 π (\frac{1}{4}) - \frac{π}{2})$

Etapa 6.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{4}) = 8 \cos (π - \frac{π}{2})$

Etapa 6.2.2.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{4}) = 8 \cos (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 6.2.2.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.3.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{4}) = 8 \cos (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 6.2.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{1}{4}) = 8 \cos (\frac{π \cdot 2 - π}{2})$

Etapa 6.2.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.4.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$f (\frac{1}{4}) = 8 \cos (\frac{2 \cdot π - π}{2})$

Etapa 6.2.2.4.2

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$f (\frac{1}{4}) = 8 \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 6.2.2.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$f (\frac{1}{4}) = 8 \cdot 0$

Etapa 6.2.2.6

Multiplique $8$ por $0$ .

$f (\frac{1}{4}) = 0$

Etapa 6.2.2.7

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 6.3

Encontre o ponto em $x = \frac{3}{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3}{8}$ na expressão.

$f (\frac{3}{8}) = 8 \cos (4 π (\frac{3}{8}) - \frac{π}{2})$

Etapa 6.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.1

Fatore $4$ de $4 π$ .

$f (\frac{3}{8}) = 8 \cos (4 (π) (\frac{3}{8}) - \frac{π}{2})$

Etapa 6.3.2.1.1.2

Fatore $4$ de $8$ .

$f (\frac{3}{8}) = 8 \cos (4 (π) (\frac{3}{4 (2)}) - \frac{π}{2})$

Etapa 6.3.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3}{8}) = 8 \cos (4 π (\frac{3}{4 \cdot 2}) - \frac{π}{2})$

Etapa 6.3.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3}{8}) = 8 \cos (π (\frac{3}{2}) - \frac{π}{2})$

Etapa 6.3.2.1.2

Combine $π$ e $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{8}) = 8 \cos (\frac{π \cdot 3}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 6.3.2.1.3

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$f (\frac{3}{8}) = 8 \cos (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{3}{8}) = 8 \cos (\frac{3 π - π}{2})$

Etapa 6.3.2.2.2

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$f (\frac{3}{8}) = 8 \cos (\frac{2 π}{2})$

Etapa 6.3.2.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3}{8}) = 8 \cos (\frac{2 π}{2})$

Etapa 6.3.2.2.3.2

Divida $π$ por $1$ .

$f (\frac{3}{8}) = 8 \cos (π)$

Etapa 6.3.2.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (\frac{3}{8}) = 8 (- \cos (0))$

Etapa 6.3.2.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (\frac{3}{8}) = 8 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 6.3.2.5

Multiplique $8 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{3}{8}) = 8 \cdot - 1$

Etapa 6.3.2.5.2

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$f (\frac{3}{8}) = - 8$

Etapa 6.3.2.6

A resposta final é $- 8$ .

$- 8$

Etapa 6.4

Encontre o ponto em $x = \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{2}$ na expressão.

$f (\frac{1}{2}) = 8 \cos (4 π (\frac{1}{2}) - \frac{π}{2})$

Etapa 6.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1

Fatore $2$ de $4 π$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8 \cos (2 (2 π) (\frac{1}{2}) - \frac{π}{2})$

Etapa 6.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{2}) = 8 \cos (2 (2 π) (\frac{1}{2}) - \frac{π}{2})$

Etapa 6.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{2}) = 8 \cos (2 π - \frac{π}{2})$

Etapa 6.4.2.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8 \cos (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 6.4.2.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8 \cos (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 6.4.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{1}{2}) = 8 \cos (\frac{2 π \cdot 2 - π}{2})$

Etapa 6.4.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8 \cos (\frac{4 π - π}{2})$

Etapa 6.4.2.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8 \cos (\frac{3 π}{2})$

Etapa 6.4.2.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (\frac{1}{2}) = 8 \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 6.4.2.6

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8 \cdot 0$

Etapa 6.4.2.7

Multiplique $8$ por $0$ .

$f (\frac{1}{2}) = 0$

Etapa 6.4.2.8

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 6.5

Encontre o ponto em $x = \frac{5}{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{5}{8}$ na expressão.

$f (\frac{5}{8}) = 8 \cos (4 π (\frac{5}{8}) - \frac{π}{2})$

Etapa 6.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1.1.1

Fatore $4$ de $4 π$ .

$f (\frac{5}{8}) = 8 \cos (4 (π) (\frac{5}{8}) - \frac{π}{2})$

Etapa 6.5.2.1.1.2

Fatore $4$ de $8$ .

$f (\frac{5}{8}) = 8 \cos (4 (π) (\frac{5}{4 (2)}) - \frac{π}{2})$

Etapa 6.5.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5}{8}) = 8 \cos (4 π (\frac{5}{4 \cdot 2}) - \frac{π}{2})$

Etapa 6.5.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5}{8}) = 8 \cos (π (\frac{5}{2}) - \frac{π}{2})$

Etapa 6.5.2.1.2

Combine $π$ e $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{8}) = 8 \cos (\frac{π \cdot 5}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 6.5.2.1.3

Mova $5$ para a esquerda de $π$ .

$f (\frac{5}{8}) = 8 \cos (\frac{5 π}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 6.5.2.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{5}{8}) = 8 \cos (\frac{5 π - π}{2})$

Etapa 6.5.2.2.2

Subtraia $π$ de $5 π$ .

$f (\frac{5}{8}) = 8 \cos (\frac{4 π}{2})$

Etapa 6.5.2.2.3

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.3.1

Fatore $2$ de $4 π$ .

$f (\frac{5}{8}) = 8 \cos (\frac{2 (2 π)}{2})$

Etapa 6.5.2.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (\frac{5}{8}) = 8 \cos (\frac{2 (2 π)}{2 (1)})$

Etapa 6.5.2.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5}{8}) = 8 \cos (\frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1})$

Etapa 6.5.2.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5}{8}) = 8 \cos (\frac{2 π}{1})$

Etapa 6.5.2.2.3.2.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$f (\frac{5}{8}) = 8 \cos (2 π)$

Etapa 6.5.2.3

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$f (\frac{5}{8}) = 8 \cos (0)$

Etapa 6.5.2.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (\frac{5}{8}) = 8 \cdot 1$

Etapa 6.5.2.5

Multiplique $8$ por $1$ .

$f (\frac{5}{8}) = 8$

Etapa 6.5.2.6

A resposta final é $8$ .

$8$

Etapa 6.6

Liste os pontos em uma tabela.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{1}{8} & 8 \\ \frac{1}{4} & 0 \\ \frac{3}{8} & - 8 \\ \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{5}{8} & 8 \end{array}$

Etapa 7

A função trigonométrica pode ser representada no gráfico usando a amplitude, o período, a mudança de fase, o deslocamento vertical e os pontos.

Amplitude: $8$

Período: $\frac{1}{2}$

Mudança de fase: $\frac{1}{8}$ ( $\frac{1}{8}$ para a direita)

Deslocamento vertical: nenhum

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{1}{8} & 8 \\ \frac{1}{4} & 0 \\ \frac{3}{8} & - 8 \\ \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{5}{8} & 8 \end{array}$

Etapa 8