Trigonometria Exemplos

$4 x^{2} + 4 x + y^{2} = 0$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da elipse.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Complete o quadrado de $4 x^{2} + 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 4$

$b = 4$

$c = 0$

Etapa 1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (4)}$

Etapa 1.1.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{2}{4}$

Etapa 1.1.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$d = \frac{2 (1)}{4}$

Etapa 1.1.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.1.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.1.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{1}{2}$

Etapa 1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1.1

Cancele o fator comum de $4^{2}$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1.1.1

Fatore $4$ de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.1.4.2.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1.1.2.1

Fatore $4$ de $4 \cdot 4$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (4)}$

Etapa 1.1.4.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.1.4.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Etapa 1.1.4.2.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Etapa 1.1.4.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Etapa 1.1.4.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e = 0 - 1$

Etapa 1.1.4.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Etapa 1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $4 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 1$ .

$4 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 1$

Etapa 1.2

Substitua $4 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 1$ por $4 x^{2} + 4 x$ na equação $4 x^{2} + 4 x + y^{2} = 0$ .

$4 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 1 + y^{2} = 0$

Etapa 1.3

Mova $- 1$ para o lado direito da equação, somando $1$ aos dois lados.

$4 {(x + \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} = 0 + 1$

Etapa 1.4

Some $0$ e $1$ .

$4 {(x + \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} = 1$

Etapa 1.5

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x + \frac{1}{2})}^{2}}{\frac{1}{4}} + y^{2} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = 1$

$b = \frac{1}{2}$

$k = 0$

$h = - \frac{1}{2}$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(- \frac{1}{2}, 0)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 5.3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}$

Etapa 5.3.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$

Etapa 5.3.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Etapa 5.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}$

Etapa 5.3.7

Subtraia $1$ de $4$ .

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

Etapa 5.3.8

Reescreva $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Etapa 5.3.9

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.9.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 5.3.9.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar $a$ com $k$ .

$(h, k + a)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(- \frac{1}{2}, 0 + 1)$

Etapa 6.3

Simplifique.

$(- \frac{1}{2}, 1)$

Etapa 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Etapa 6.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(- \frac{1}{2}, 0 - (1))$

Etapa 6.6

Simplifique.

$(- \frac{1}{2}, - 1)$

Etapa 6.7

As elipses têm dois vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(- \frac{1}{2}, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, - 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(- \frac{1}{2}, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, - 1)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $k$ .

$(h, k + c)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(- \frac{1}{2}, 0 + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 7.3

Simplifique.

$(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 7.4

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Etapa 7.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(- \frac{1}{2}, 0 - (\frac{\sqrt{3}}{2}))$

Etapa 7.6

Simplifique.

$(- \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 7.7

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}}{1}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Divida $\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$ por $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 8.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 8.3.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 8.3.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}$

Etapa 8.3.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$

Etapa 8.3.6

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Etapa 8.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}$

Etapa 8.3.8

Subtraia $1$ de $4$ .

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

Etapa 8.3.9

Reescreva $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Etapa 8.3.10

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.10.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 8.3.10.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro: $(- \frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(- \frac{1}{2}, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, - 1)$

${Focus}_{1}$ : $(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$

Excentricidade: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 10