Trigonometria Exemplos

$x^{2} + 10 x - y + 29 = 0$

Etapa 1

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$10 x - y + 29 = - x^{2}$

Etapa 1.1.2

Subtraia $10 x$ dos dois lados da equação.

$- y + 29 = - x^{2} - 10 x$

Etapa 1.1.3

Subtraia $29$ dos dois lados da equação.

$- y = - x^{2} - 10 x - 29$

Etapa 1.2

Divida cada termo em $- y = - x^{2} - 10 x - 29$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Divida cada termo em $- y = - x^{2} - 10 x - 29$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- x^{2}}{- 1} + \frac{- 10 x}{- 1} + \frac{- 29}{- 1}$

Etapa 1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{- x^{2}}{- 1} + \frac{- 10 x}{- 1} + \frac{- 29}{- 1}$

Etapa 1.2.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{- 1} + \frac{- 10 x}{- 1} + \frac{- 29}{- 1}$

Etapa 1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y = \frac{x^{2}}{1} + \frac{- 10 x}{- 1} + \frac{- 29}{- 1}$

Etapa 1.2.3.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$y = x^{2} + \frac{- 10 x}{- 1} + \frac{- 29}{- 1}$

Etapa 1.2.3.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{- 10 x}{- 1}$ .

$y = x^{2} - 1 \cdot (- 10 x) + \frac{- 29}{- 1}$

Etapa 1.2.3.1.4

Reescreva $- 1 \cdot (- 10 x)$ como $- (- 10 x)$ .

$y = x^{2} - (- 10 x) + \frac{- 29}{- 1}$

Etapa 1.2.3.1.5

Multiplique $- 10$ por $- 1$ .

$y = x^{2} + 10 x + \frac{- 29}{- 1}$

Etapa 1.2.3.1.6

Divida $- 29$ por $- 1$ .

$y = x^{2} + 10 x + 29$

Etapa 2

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Complete o quadrado de $x^{2} + 10 x + 29$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 10$

$c = 29$

Etapa 2.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{10}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.1.3.2

Cancele o fator comum de $10$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1

Fatore $2$ de $10$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.1.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)}$

Etapa 2.1.1.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.1.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{5}{1}$

Etapa 2.1.1.3.2.2.4

Divida $5$ por $1$ .

$d = 5$

Etapa 2.1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 29 - \frac{10^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.1

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$e = 29 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 29 - \frac{100}{4}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.3

Divida $100$ por $4$ .

$e = 29 - 1 \cdot 25$

Etapa 2.1.1.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $25$ .

$e = 29 - 25$

Etapa 2.1.1.4.2.2

Subtraia $25$ de $29$ .

$e = 4$

Etapa 2.1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(x + 5)}^{2} + 4$ .

${(x + 5)}^{2} + 4$

Etapa 2.1.2

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = {(x + 5)}^{2} + 4$

Etapa 2.2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 1$

$h = - 5$

$k = 4$

Etapa 2.3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para cima.

Abre para cima

Etapa 2.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 5, 4)$

Etapa 2.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 2.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.5.3

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4}$

Etapa 2.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 2.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 5, \frac{17}{4})$

Etapa 2.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = - 5$

Etapa 2.8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 2.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = \frac{15}{4}$

Etapa 2.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para cima

Vértice: $(- 5, 4)$

Foco: $(- 5, \frac{17}{4})$

Eixo de simetria: $x = - 5$

Diretriz: $y = \frac{15}{4}$

Direção: abre para cima

Vértice: $(- 5, 4)$

Foco: $(- 5, \frac{17}{4})$

Eixo de simetria: $x = - 5$

Diretriz: $y = \frac{15}{4}$

Etapa 3

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f (- 6) = {(- 6)}^{2} + 10 (- 6) + 29$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$f (- 6) = 36 + 10 (- 6) + 29$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $10$ por $- 6$ .

$f (- 6) = 36 - 60 + 29$

Etapa 3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Subtraia $60$ de $36$ .

$f (- 6) = - 24 + 29$

Etapa 3.2.2.2

Some $- 24$ e $29$ .

$f (- 6) = 5$

Etapa 3.2.3

A resposta final é $5$ .

$5$

Etapa 3.3

O valor $y$ em $x = - 6$ é $5$ .

$y = 5$

Etapa 3.4

Substitua a variável $x$ por $- 7$ na expressão.

$f (- 7) = {(- 7)}^{2} + 10 (- 7) + 29$

Etapa 3.5

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1

Eleve $- 7$ à potência de $2$ .

$f (- 7) = 49 + 10 (- 7) + 29$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $10$ por $- 7$ .

$f (- 7) = 49 - 70 + 29$

Etapa 3.5.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Subtraia $70$ de $49$ .

$f (- 7) = - 21 + 29$

Etapa 3.5.2.2

Some $- 21$ e $29$ .

$f (- 7) = 8$

Etapa 3.5.3

A resposta final é $8$ .

$8$

Etapa 3.6

O valor $y$ em $x = - 7$ é $8$ .

$y = 8$

Etapa 3.7

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f (- 4) = {(- 4)}^{2} + 10 (- 4) + 29$

Etapa 3.8

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f (- 4) = 16 + 10 (- 4) + 29$

Etapa 3.8.1.2

Multiplique $10$ por $- 4$ .

$f (- 4) = 16 - 40 + 29$

Etapa 3.8.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1

Subtraia $40$ de $16$ .

$f (- 4) = - 24 + 29$

Etapa 3.8.2.2

Some $- 24$ e $29$ .

$f (- 4) = 5$

Etapa 3.8.3

A resposta final é $5$ .

$5$

Etapa 3.9

O valor $y$ em $x = - 4$ é $5$ .

$y = 5$

Etapa 3.10

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f (- 3) = {(- 3)}^{2} + 10 (- 3) + 29$

Etapa 3.11

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f (- 3) = 9 + 10 (- 3) + 29$

Etapa 3.11.1.2

Multiplique $10$ por $- 3$ .

$f (- 3) = 9 - 30 + 29$

Etapa 3.11.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.2.1

Subtraia $30$ de $9$ .

$f (- 3) = - 21 + 29$

Etapa 3.11.2.2

Some $- 21$ e $29$ .

$f (- 3) = 8$

Etapa 3.11.3

A resposta final é $8$ .

$8$

Etapa 3.12

O valor $y$ em $x = - 3$ é $8$ .

$y = 8$

Etapa 3.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 7 & 8 \\ - 6 & 5 \\ - 5 & 4 \\ - 4 & 5 \\ - 3 & 8 \end{array}$

Etapa 4

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para cima

Vértice: $(- 5, 4)$

Foco: $(- 5, \frac{17}{4})$

Eixo de simetria: $x = - 5$

Diretriz: $y = \frac{15}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 7 & 8 \\ - 6 & 5 \\ - 5 & 4 \\ - 4 & 5 \\ - 3 & 8 \end{array}$

Etapa 5