Trigonometria Exemplos

$x^{2} + 6 x - 3 y - 6 = 0$

Etapa 1

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$6 x - 3 y - 6 = - x^{2}$

Etapa 1.1.2

Subtraia $6 x$ dos dois lados da equação.

$- 3 y - 6 = - x^{2} - 6 x$

Etapa 1.1.3

Some $6$ aos dois lados da equação.

$- 3 y = - x^{2} - 6 x + 6$

Etapa 1.2

Divida cada termo em $- 3 y = - x^{2} - 6 x + 6$ por $- 3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Divida cada termo em $- 3 y = - x^{2} - 6 x + 6$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{- x^{2}}{- 3} + \frac{- 6 x}{- 3} + \frac{6}{- 3}$

Etapa 1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{- x^{2}}{- 3} + \frac{- 6 x}{- 3} + \frac{6}{- 3}$

Etapa 1.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{- 3} + \frac{- 6 x}{- 3} + \frac{6}{- 3}$

Etapa 1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 6 x}{- 3} + \frac{6}{- 3}$

Etapa 1.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 6$ e $- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.2.1

Fatore $- 3$ de $- 6 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 3 (2 x)}{- 3} + \frac{6}{- 3}$

Etapa 1.2.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.2.2.1

Fatore $- 3$ de $- 3$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 3 (2 x)}{- 3 (1)} + \frac{6}{- 3}$

Etapa 1.2.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 3 (2 x)}{- 3 \cdot 1} + \frac{6}{- 3}$

Etapa 1.2.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{2 x}{1} + \frac{6}{- 3}$

Etapa 1.2.3.1.2.2.4

Divida $2 x$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} + 2 x + \frac{6}{- 3}$

Etapa 1.2.3.1.3

Divida $6$ por $- 3$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} + 2 x - 2$

Etapa 2

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Complete o quadrado de $\frac{x^{2}}{3} + 2 x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{3}$

$b = 2$

$c = - 2$

Etapa 2.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{3})}$

Etapa 2.1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{3})}$

Etapa 2.1.1.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Etapa 2.1.1.3.2.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = 1 \cdot 3$

Etapa 2.1.1.3.2.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$d = 3$

Etapa 2.1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 2 - \frac{2^{2}}{4 (\frac{1}{3})}$

Etapa 2.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$e = - 2 - \frac{4}{4 (\frac{1}{3})}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.2

Combine $4$ e $\frac{1}{3}$ .

$e = - 2 - \frac{4}{\frac{4}{3}}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e = - 2 - (4 (\frac{3}{4}))$

Etapa 2.1.1.4.2.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$e = - 2 - (4 (\frac{3}{4}))$

Etapa 2.1.1.4.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$e = - 2 - 1 \cdot 3$

Etapa 2.1.1.4.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$e = - 2 - 3$

Etapa 2.1.1.4.2.2

Subtraia $3$ de $- 2$ .

$e = - 5$

Etapa 2.1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $\frac{1}{3} {(x + 3)}^{2} - 5$ .

$\frac{1}{3} {(x + 3)}^{2} - 5$

Etapa 2.1.2

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{2} - 5$

Etapa 2.2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{3}$

$h = - 3$

$k = - 5$

Etapa 2.3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para cima.

Abre para cima

Etapa 2.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 3, - 5)$

Etapa 2.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 2.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 2.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{3}}$

Etapa 2.5.3

Simplifique.

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Etapa 2.5.3.1

Combine $4$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

Etapa 2.5.3.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 (\frac{3}{4})$

Etapa 2.5.3.3

Multiplique $\frac{3}{4}$ por $1$ .

$\frac{3}{4}$

Etapa 2.6

Encontre o foco.

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Etapa 2.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 2.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 3, - \frac{17}{4})$

Etapa 2.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = - 3$

Etapa 2.8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 2.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = - \frac{23}{4}$

Etapa 2.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para cima

Vértice: $(- 3, - 5)$

Foco: $(- 3, - \frac{17}{4})$

Eixo de simetria: $x = - 3$

Diretriz: $y = - \frac{23}{4}$

Direção: abre para cima

Vértice: $(- 3, - 5)$

Foco: $(- 3, - \frac{17}{4})$

Eixo de simetria: $x = - 3$

Diretriz: $y = - \frac{23}{4}$

Etapa 3

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{2}}{3} + 2 (- 4) - 2$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f (- 4) = \frac{16}{3} + 2 (- 4) - 2$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{16}{3} - 8 - 2$

Etapa 3.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Escreva $- 8$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 4) = \frac{16}{3} + \frac{- 8}{1} - 2$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique $\frac{- 8}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = \frac{16}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3} - 2$

Etapa 3.2.2.3

Multiplique $\frac{- 8}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = \frac{16}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} - 2$

Etapa 3.2.2.4

Escreva $- 2$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 4) = \frac{16}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{- 2}{1}$

Etapa 3.2.2.5

Multiplique $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = \frac{16}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.2.2.6

Multiplique $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = \frac{16}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 4) = \frac{16 - 8 \cdot 3 - 2 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Multiplique $- 8$ por $3$ .

$f (- 4) = \frac{16 - 24 - 2 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.2.4.2

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$f (- 4) = \frac{16 - 24 - 6}{3}$

Etapa 3.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Subtraia $24$ de $16$ .

$f (- 4) = \frac{- 8 - 6}{3}$

Etapa 3.2.5.2

Subtraia $6$ de $- 8$ .

$f (- 4) = \frac{- 14}{3}$

Etapa 3.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 4) = - \frac{14}{3}$

Etapa 3.2.6

A resposta final é $- \frac{14}{3}$ .

$- \frac{14}{3}$

Etapa 3.3

O valor $y$ em $x = - 4$ é $- \frac{14}{3}$ .

$y = - \frac{14}{3}$

Etapa 3.4

Substitua a variável $x$ por $- 5$ na expressão.

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{2}}{3} + 2 (- 5) - 2$

Etapa 3.5

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$f (- 5) = \frac{25}{3} + 2 (- 5) - 2$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{25}{3} - 10 - 2$

Etapa 3.5.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Escreva $- 10$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 5) = \frac{25}{3} + \frac{- 10}{1} - 2$

Etapa 3.5.2.2

Multiplique $\frac{- 10}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{3} + \frac{- 10}{1} \cdot \frac{3}{3} - 2$

Etapa 3.5.2.3

Multiplique $\frac{- 10}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{3} + \frac{- 10 \cdot 3}{3} - 2$

Etapa 3.5.2.4

Escreva $- 2$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 5) = \frac{25}{3} + \frac{- 10 \cdot 3}{3} + \frac{- 2}{1}$

Etapa 3.5.2.5

Multiplique $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{3} + \frac{- 10 \cdot 3}{3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.5.2.6

Multiplique $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{3} + \frac{- 10 \cdot 3}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 5) = \frac{25 - 10 \cdot 3 - 2 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.5.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1

Multiplique $- 10$ por $3$ .

$f (- 5) = \frac{25 - 30 - 2 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.5.4.2

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$f (- 5) = \frac{25 - 30 - 6}{3}$

Etapa 3.5.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.1

Subtraia $30$ de $25$ .

$f (- 5) = \frac{- 5 - 6}{3}$

Etapa 3.5.5.2

Subtraia $6$ de $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{- 11}{3}$

Etapa 3.5.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 5) = - \frac{11}{3}$

Etapa 3.5.6

A resposta final é $- \frac{11}{3}$ .

$- \frac{11}{3}$

Etapa 3.6

O valor $y$ em $x = - 5$ é $- \frac{11}{3}$ .

$y = - \frac{11}{3}$

Etapa 3.7

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{3} + 2 (0) - 2$

Etapa 3.8

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{0}{3} + 2 (0) - 2$

Etapa 3.8.1.2

Divida $0$ por $3$ .

$f (0) = 0 + 2 (0) - 2$

Etapa 3.8.1.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 2$

Etapa 3.8.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 - 2$

Etapa 3.8.2.2

Subtraia $2$ de $0$ .

$f (0) = - 2$

Etapa 3.8.3

A resposta final é $- 2$ .

$- 2$

Etapa 3.9

O valor $y$ em $x = 0$ é $- 2$ .

$y = - 2$

Etapa 3.10

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{3} + 2 (- 2) - 2$

Etapa 3.11

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.1

Escreva $2 (- 2)$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{3} + \frac{2 (- 2)}{1} - 2$

Etapa 3.11.1.2

Multiplique $\frac{2 (- 2)}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{3} + \frac{2 (- 2)}{1} \cdot \frac{3}{3} - 2$

Etapa 3.11.1.3

Multiplique $\frac{2 (- 2)}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{3} + \frac{2 (- 2) \cdot 3}{3} - 2$

Etapa 3.11.1.4

Escreva $- 2$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{3} + \frac{2 (- 2) \cdot 3}{3} + \frac{- 2}{1}$

Etapa 3.11.1.5

Multiplique $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{3} + \frac{2 (- 2) \cdot 3}{3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.11.1.6

Multiplique $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{3} + \frac{2 (- 2) \cdot 3}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.11.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2} + 2 (- 2) \cdot 3 - 2 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.11.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.3.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f (- 2) = \frac{4 + 2 (- 2) \cdot 3 - 2 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.11.3.2

Multiplique $2 (- 2) \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.3.2.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{4 - 4 \cdot 3 - 2 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.11.3.2.2

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$f (- 2) = \frac{4 - 12 - 2 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.11.3.3

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$f (- 2) = \frac{4 - 12 - 6}{3}$

Etapa 3.11.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.4.1

Subtraia $12$ de $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 - 6}{3}$

Etapa 3.11.4.2

Subtraia $6$ de $- 8$ .

$f (- 2) = \frac{- 14}{3}$

Etapa 3.11.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 2) = - \frac{14}{3}$

Etapa 3.11.5

A resposta final é $- \frac{14}{3}$ .

$- \frac{14}{3}$

Etapa 3.12

O valor $y$ em $x = - 2$ é $- \frac{14}{3}$ .

$y = - \frac{14}{3}$

Etapa 3.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - \frac{11}{3} \\ - 4 & - \frac{14}{3} \\ - 3 & - 5 \\ - 2 & - \frac{14}{3} \\ 0 & - 2 \end{array}$

Etapa 4

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para cima

Vértice: $(- 3, - 5)$

Foco: $(- 3, - \frac{17}{4})$

Eixo de simetria: $x = - 3$

Diretriz: $y = - \frac{23}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - \frac{11}{3} \\ - 4 & - \frac{14}{3} \\ - 3 & - 5 \\ - 2 & - \frac{14}{3} \\ 0 & - 2 \end{array}$

Etapa 5