Trigonometria Exemplos

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{80} = 1$

Etapa 1

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{80} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = 4 \sqrt{5}$

$b = 8$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(4 \sqrt{5})}^{2} - {(8)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Aplique a regra do produto a $4 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{4^{2} {\sqrt{5}}^{2} - {(8)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\sqrt{16 {\sqrt{5}}^{2} - {(8)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{16 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(8)}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{16 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(8)}^{2}}$

Etapa 5.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{16 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {(8)}^{2}}$

Etapa 5.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{16 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {(8)}^{2}}$

Etapa 5.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{16 \cdot 5^{1} - {(8)}^{2}}$

Etapa 5.3.2.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{16 \cdot 5 - {(8)}^{2}}$

Etapa 5.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Multiplique $16$ por $5$ .

$\sqrt{80 - {(8)}^{2}}$

Etapa 5.3.3.2

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\sqrt{80 - 1 \cdot 64}$

Etapa 5.3.3.3

Multiplique $- 1$ por $64$ .

$\sqrt{80 - 64}$

Etapa 5.3.3.4

Subtraia $64$ de $80$ .

$\sqrt{16}$

Etapa 5.3.3.5

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

Etapa 5.3.3.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$4$

Etapa 6

Encontre os vértices.

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Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar $a$ com $k$ .

$(h, k + a)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 + 4 \sqrt{5})$

Etapa 6.3

Simplifique.

$(0, 4 \sqrt{5})$

Etapa 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Etapa 6.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 - (4 \sqrt{5}))$

Etapa 6.6

Simplifique.

$(0, - 4 \sqrt{5})$

Etapa 6.7

As elipses têm dois vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 4 \sqrt{5})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4 \sqrt{5})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 4 \sqrt{5})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4 \sqrt{5})$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

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Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $k$ .

$(h, k + c)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 + 4)$

Etapa 7.3

Simplifique.

$(0, 4)$

Etapa 7.4

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Etapa 7.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 - (4))$

Etapa 7.6

Simplifique.

$(0, - 4)$

Etapa 7.7

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(0, 4)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 4)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

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Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(4 \sqrt{5})}^{2} - {(8)}^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Aplique a regra do produto a $4 \sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} {\sqrt{5}}^{2} - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Etapa 8.3.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{16 {\sqrt{5}}^{2} - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Etapa 8.3.1.3

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{16 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Etapa 8.3.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Etapa 8.3.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Etapa 8.3.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{16 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Etapa 8.3.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{16 \cdot 5^{1} - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Etapa 8.3.1.3.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{16 \cdot 5 - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Etapa 8.3.1.4

Multiplique $16$ por $5$ .

$\frac{\sqrt{80 - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Etapa 8.3.1.5

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{80 - 1 \cdot 64}}{4 \sqrt{5}}$

Etapa 8.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $64$ .

$\frac{\sqrt{80 - 64}}{4 \sqrt{5}}$

Etapa 8.3.1.7

Subtraia $64$ de $80$ .

$\frac{\sqrt{16}}{4 \sqrt{5}}$

Etapa 8.3.1.8

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Etapa 8.3.1.9

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{4}{4 \sqrt{5}}$

Etapa 8.3.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{4 \sqrt{5}}$

Etapa 8.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sqrt{5}}$

Etapa 8.3.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Etapa 8.3.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 8.3.4.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Etapa 8.3.4.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Etapa 8.3.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 8.3.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 8.3.4.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 8.3.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 8.3.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.3.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.3.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Etapa 8.3.4.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 4 \sqrt{5})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4 \sqrt{5})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 4)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4)$

Excentricidade: $\frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 10