Trigonometria Exemplos

$A = 30$ , $a = 6$ , $b = 12$

Etapa 1

A Lei dos Senos produz um resultado angular ambíguo. Isso significa que existem ângulos $2$ que resolverão corretamente a equação. Para o primeiro triângulo, use o primeiro valor de ângulo possível.

Resolva o primeiro triângulo.

Etapa 2

A lei dos senos se baseia na proporcionalidade dos lados e ângulos em triângulos. A lei afirma que, para os ângulos de um triângulo não retângulo, cada ângulo tem a mesma proporção da medida do ângulo para o valor do seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $B$ .

$\frac{\sin (B)}{12} = \frac{\sin (30)}{6}$

Etapa 4

Resolva a equação para $B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique os dois lados da equação por $12$ .

$12 \frac{\sin (B)}{12} = 12 \frac{\sin (30)}{6}$

Etapa 4.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$12 \frac{\sin (B)}{12} = 12 \frac{\sin (30)}{6}$

Etapa 4.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\sin (B) = 12 \frac{\sin (30)}{6}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique $12 \frac{\sin (30)}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1.1

Fatore $6$ de $12$ .

$\sin (B) = 6 (2) \frac{\sin (30)}{6}$

Etapa 4.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\sin (B) = 6 \cdot 2 \frac{\sin (30)}{6}$

Etapa 4.2.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$\sin (B) = 2 \sin (30)$

Etapa 4.2.2.1.2

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\sin (B) = 2 (\frac{1}{2})$

Etapa 4.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\sin (B) = 2 (\frac{1}{2})$

Etapa 4.2.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\sin (B) = 1$

Etapa 4.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $B$ de dentro do seno.

$B = \arcsin (1)$

Etapa 4.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

O valor exato de $\arcsin (1)$ é $90$ .

$B = 90$

Etapa 4.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$B = 180 - 90$

Etapa 4.6

Subtraia $90$ de $180$ .

$B = 90$

Etapa 4.7

A solução para a equação $B = 90$ .

$B = 90, 90$

Etapa 5

A soma de todos os ângulos em um triângulo é $180$ graus.

$30 + C + 90 = 180$

Etapa 6

Resolva a equação para $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Some $30$ e $90$ .

$C + 120 = 180$

Etapa 6.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Subtraia $120$ dos dois lados da equação.

$C = 180 - 120$

Etapa 6.2.2

Subtraia $120$ de $180$ .

$C = 60$

Etapa 7

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 8

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $c$ .

$\frac{\sin (60)}{c} = \frac{\sin (30)}{6}$

Etapa 9

Resolva a equação para $c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

O valor exato de $\sin (60)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{c} = \frac{\sin (30)}{6}$

Etapa 9.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{c} = \frac{\sin (30)}{6}$

Etapa 9.1.3

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{1}{c}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{\sin (30)}{6}$

Etapa 9.1.4

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{\frac{1}{2}}{6}$

Etapa 9.1.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}$

Etapa 9.1.6

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.6.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{6}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{2 \cdot 6}$

Etapa 9.1.6.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{12}$

Etapa 9.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$2 c, 12$

Etapa 9.2.2

Since $2 c, 12$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 12$ then find LCM for the variable part $c^{1}$ .

Etapa 9.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 9.2.4

Como $2$ não tem fatores além de $1$ e $2$ .

$2$ é um número primo

Etapa 9.2.5

Os fatores primos de $12$ são $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.5.1

$12$ tem fatores de $2$ e $6$ .

$2 \cdot 6$

Etapa 9.2.5.2

$6$ tem fatores de $2$ e $3$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Etapa 9.2.6

Multiplique $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \cdot 3$

Etapa 9.2.6.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$12$

Etapa 9.2.7

O fator de $c^{1}$ é o próprio $c$ .

$c^{1} = c$

$c$ ocorre $1$ vez.

Etapa 9.2.8

O MMC de $c^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$c$

Etapa 9.2.9

O MMC de $2 c, 12$ é a parte numérica $12$ multiplicada pela parte variável.

$12 c$

Etapa 9.3

Multiplique cada termo em $\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{12}$ por $12 c$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{12}$ por $12 c$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} (12 c) = \frac{1}{12} (12 c)$

Etapa 9.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$12 \frac{\sqrt{3}}{2 c} c = \frac{1}{12} (12 c)$

Etapa 9.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.2.1

Fatore $2$ de $12$ .

$2 (6) \frac{\sqrt{3}}{2 c} c = \frac{1}{12} (12 c)$

Etapa 9.3.2.2.2

Fatore $2$ de $2 c$ .

$2 (6) \frac{\sqrt{3}}{2 (c)} c = \frac{1}{12} (12 c)$

Etapa 9.3.2.2.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 6 \frac{\sqrt{3}}{2 c} c = \frac{1}{12} (12 c)$

Etapa 9.3.2.2.4

Reescreva a expressão.

$6 \frac{\sqrt{3}}{c} c = \frac{1}{12} (12 c)$

Etapa 9.3.2.3

Combine $6$ e $\frac{\sqrt{3}}{c}$ .

$\frac{6 \sqrt{3}}{c} c = \frac{1}{12} (12 c)$

Etapa 9.3.2.4

Cancele o fator comum de $c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 \sqrt{3}}{c} c = \frac{1}{12} (12 c)$

Etapa 9.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$6 \sqrt{3} = \frac{1}{12} (12 c)$

Etapa 9.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.1

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.1.1

Fatore $12$ de $12 c$ .

$6 \sqrt{3} = \frac{1}{12} (12 (c))$

Etapa 9.3.3.1.2

Cancele o fator comum.

$6 \sqrt{3} = \frac{1}{12} (12 c)$

Etapa 9.3.3.1.3

Reescreva a expressão.

$6 \sqrt{3} = c$

Etapa 9.4

Reescreva a equação como $c = 6 \sqrt{3}$ .

$c = 6 \sqrt{3}$

Etapa 10

Para o segundo triângulo, use o segundo valor angular possível.

Resolva o segundo triângulo.

Etapa 11

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 12

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $B$ .

$\frac{\sin (B)}{12} = \frac{\sin (30)}{6}$

Etapa 13

Resolva a equação para $B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Multiplique os dois lados da equação por $12$ .

$12 \frac{\sin (B)}{12} = 12 \frac{\sin (30)}{6}$

Etapa 13.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.1

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$12 \frac{\sin (B)}{12} = 12 \frac{\sin (30)}{6}$

Etapa 13.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\sin (B) = 12 \frac{\sin (30)}{6}$

Etapa 13.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.2.1

Simplifique $12 \frac{\sin (30)}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.2.1.1.1

Fatore $6$ de $12$ .

$\sin (B) = 6 (2) \frac{\sin (30)}{6}$

Etapa 13.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\sin (B) = 6 \cdot 2 \frac{\sin (30)}{6}$

Etapa 13.2.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$\sin (B) = 2 \sin (30)$

Etapa 13.2.2.1.2

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\sin (B) = 2 (\frac{1}{2})$

Etapa 13.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\sin (B) = 2 (\frac{1}{2})$

Etapa 13.2.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\sin (B) = 1$

Etapa 13.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $B$ de dentro do seno.

$B = \arcsin (1)$

Etapa 13.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.1

O valor exato de $\arcsin (1)$ é $90$ .

$B = 90$

Etapa 13.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$B = 180 - 90$

Etapa 13.6

Subtraia $90$ de $180$ .

$B = 90$

Etapa 13.7

A solução para a equação $B = 90$ .

$B = 90, 90$

Etapa 14

A soma de todos os ângulos em um triângulo é $180$ graus.

$30 + C + 90 = 180$

Etapa 15

Resolva a equação para $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Some $30$ e $90$ .

$C + 120 = 180$

Etapa 15.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Subtraia $120$ dos dois lados da equação.

$C = 180 - 120$

Etapa 15.2.2

Subtraia $120$ de $180$ .

$C = 60$

Etapa 16

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 17

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $c$ .

$\frac{\sin (60)}{c} = \frac{\sin (30)}{6}$

Etapa 18

Resolva a equação para $c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.1

O valor exato de $\sin (60)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{c} = \frac{\sin (30)}{6}$

Etapa 18.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{c} = \frac{\sin (30)}{6}$

Etapa 18.1.3

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{1}{c}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{\sin (30)}{6}$

Etapa 18.1.4

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{\frac{1}{2}}{6}$

Etapa 18.1.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}$

Etapa 18.1.6

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.6.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{6}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{2 \cdot 6}$

Etapa 18.1.6.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{12}$

Etapa 18.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$2 c, 12$

Etapa 18.2.2

Since $2 c, 12$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 12$ then find LCM for the variable part $c^{1}$ .

Etapa 18.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 18.2.4

Como $2$ não tem fatores além de $1$ e $2$ .

$2$ é um número primo

Etapa 18.2.5

Os fatores primos de $12$ são $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.5.1

$12$ tem fatores de $2$ e $6$ .

$2 \cdot 6$

Etapa 18.2.5.2

$6$ tem fatores de $2$ e $3$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Etapa 18.2.6

Multiplique $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \cdot 3$

Etapa 18.2.6.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$12$

Etapa 18.2.7

O fator de $c^{1}$ é o próprio $c$ .

$c^{1} = c$

$c$ ocorre $1$ vez.

Etapa 18.2.8

O MMC de $c^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$c$

Etapa 18.2.9

O MMC de $2 c, 12$ é a parte numérica $12$ multiplicada pela parte variável.

$12 c$

Etapa 18.3

Multiplique cada termo em $\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{12}$ por $12 c$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{12}$ por $12 c$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} (12 c) = \frac{1}{12} (12 c)$

Etapa 18.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.3.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$12 \frac{\sqrt{3}}{2 c} c = \frac{1}{12} (12 c)$

Etapa 18.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.3.2.2.1

Fatore $2$ de $12$ .

$2 (6) \frac{\sqrt{3}}{2 c} c = \frac{1}{12} (12 c)$

Etapa 18.3.2.2.2

Fatore $2$ de $2 c$ .

$2 (6) \frac{\sqrt{3}}{2 (c)} c = \frac{1}{12} (12 c)$

Etapa 18.3.2.2.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 6 \frac{\sqrt{3}}{2 c} c = \frac{1}{12} (12 c)$

Etapa 18.3.2.2.4

Reescreva a expressão.

$6 \frac{\sqrt{3}}{c} c = \frac{1}{12} (12 c)$

Etapa 18.3.2.3

Combine $6$ e $\frac{\sqrt{3}}{c}$ .

$\frac{6 \sqrt{3}}{c} c = \frac{1}{12} (12 c)$

Etapa 18.3.2.4

Cancele o fator comum de $c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 \sqrt{3}}{c} c = \frac{1}{12} (12 c)$

Etapa 18.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$6 \sqrt{3} = \frac{1}{12} (12 c)$

Etapa 18.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.3.3.1

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.3.3.1.1

Fatore $12$ de $12 c$ .

$6 \sqrt{3} = \frac{1}{12} (12 (c))$

Etapa 18.3.3.1.2

Cancele o fator comum.

$6 \sqrt{3} = \frac{1}{12} (12 c)$

Etapa 18.3.3.1.3

Reescreva a expressão.

$6 \sqrt{3} = c$

Etapa 18.4

Reescreva a equação como $c = 6 \sqrt{3}$ .

$c = 6 \sqrt{3}$

Etapa 19

Esses são os resultados de todos os ângulos e lados do triângulo em questão.

Combinação do primeiro triângulo:

$A = 30$

$B = 90$

$C = 60$

$a = 6$

$b = 12$

$c = 6 \sqrt{3}$

Combinação do segundo triângulo:

$A = 30$

$B = 90$

$C = 60$

$a = 6$

$b = 12$

$c = 6 \sqrt{3}$