Trigonometria Exemplos

$a = 8$ , $c = 13$ , $B = 150$

Etapa 1

Use a lei dos cossenos para encontrar o lado desconhecido do triângulo, considerando os outros dois lados e o ângulo incluído.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Etapa 2

Resolva a equação.

$b = \sqrt{a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)}$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos na equação.

$b = \sqrt{{(8)}^{2} + {(13)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 13 \cos (150)}$

Etapa 4

Simplifique os resultados.

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Etapa 4.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$b = \sqrt{64 + {(13)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot (13 \cos (150))}$

Etapa 4.2

Eleve $13$ à potência de $2$ .

$b = \sqrt{64 + 169 - 2 \cdot 8 \cdot (13 \cos (150))}$

Etapa 4.3

Multiplique $- 2 \cdot 8 \cdot 13$ .

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 2$ por $8$ .

$b = \sqrt{64 + 169 - 16 \cdot (13 \cos (150))}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $- 16$ por $13$ .

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 \cos (150)}$

Etapa 4.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 (- \cos (30))}$

Etapa 4.5

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 (- \frac{\sqrt{3}}{2})}$

Etapa 4.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.6.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

Etapa 4.6.2

Fatore $2$ de $- 208$ .

$b = \sqrt{64 + 169 + 2 (- 104) (\frac{- \sqrt{3}}{2})}$

Etapa 4.6.3

Cancele o fator comum.

$b = \sqrt{64 + 169 + 2 \cdot (- 104 \frac{- \sqrt{3}}{2})}$

Etapa 4.6.4

Reescreva a expressão.

$b = \sqrt{64 + 169 - 104 (- \sqrt{3})}$

Etapa 4.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 104$ .

$b = \sqrt{64 + 169 + 104 \sqrt{3}}$

Etapa 4.7.2

Some $64$ e $169$ .

$b = \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}$

Etapa 5

A lei dos senos se baseia na proporcionalidade dos lados e ângulos em triângulos. A lei afirma que, para os ângulos de um triângulo não retângulo, cada ângulo tem a mesma proporção da medida do ângulo para o valor do seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 6

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $A$ .

$\frac{\sin (A)}{8} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Etapa 7

Resolva a equação para $A$ .

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Etapa 7.1

Multiplique os dois lados da equação por $8$ .

$8 \frac{\sin (A)}{8} = 8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Etapa 7.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 7.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 7.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$8 \frac{\sin (A)}{8} = 8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Etapa 7.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\sin (A) = 8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.2.1

Simplifique $8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$ .

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Etapa 7.2.2.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.2.1.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\sin (A) = 8 \frac{\sin (30)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Etapa 7.2.2.1.1.2

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\sin (A) = 8 \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Etapa 7.2.2.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sin (A) = 8 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}})$

Etapa 7.2.2.1.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = 8 \frac{1}{2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Etapa 7.2.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.2.1.4.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\sin (A) = 2 (4) \frac{1}{2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Etapa 7.2.2.1.4.2

Fatore $2$ de $2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = 2 (4) \frac{1}{2 (\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}})}$

Etapa 7.2.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$\sin (A) = 2 \cdot 4 \frac{1}{2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Etapa 7.2.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$\sin (A) = 4 \frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Etapa 7.2.2.1.5

Combine $4$ e $\frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = \frac{4}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Etapa 7.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $A$ de dentro do seno.

$A = \arcsin (\frac{4}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}})$

Etapa 7.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.4.1

Avalie $\arcsin (\frac{4}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}})$ .

$A = 11.34962381$

Etapa 7.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$A = 180 - 11.34962381$

Etapa 7.6

Subtraia $11.34962381$ de $180$ .

$A = 168.65037618$

Etapa 7.7

A solução para a equação $A = 11.34962381$ .

$A = 11.34962381, 168.65037618$

Etapa 7.8

Exclua o ângulo inválido.

$A = 11.34962381$

Etapa 8

A soma de todos os ângulos em um triângulo é $180$ graus.

$11.34962381 + C + 150 = 180$

Etapa 9

Resolva a equação para $C$ .

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Etapa 9.1

Some $11.34962381$ e $150$ .

$C + 161.34962381 = 180$

Etapa 9.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.2.1

Subtraia $161.34962381$ dos dois lados da equação.

$C = 180 - 161.34962381$

Etapa 9.2.2

Subtraia $161.34962381$ de $180$ .

$C = 18.65037618$

Etapa 10

Esses são os resultados de todos os ângulos e lados do triângulo em questão.

$A = 11.34962381$

$B = 150$

$C = 18.65037618$

$a = 8$

$b = \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}$

$c = 13$