Trigonometria Exemplos

$\sin (x) = \frac{8}{9}$ , $\cos (2 x)$

Etapa 1

Use a definição de seno para encontrar os lados conhecidos do triângulo retângulo do círculo unitário. O quadrante determina o sinal em cada valor.

$\sin (x) = \frac{oposto}{hipotenusa}$

Etapa 2

Encontre o lado adjacente do triângulo de círculo unitário. Como a hipotenusa e os lados opostos são conhecidos, use o teorema de Pitágoras para encontrar o lado restante.

$Adjacente = \sqrt{{hipotenusa}^{2} - {oposto}^{2}}$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos na equação.

$Adjacente = \sqrt{{(9)}^{2} - {(8)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique dentro do radical.

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Etapa 4.1

Eleve $9$ à potência de $2$ .

Adjacente $= \sqrt{81 - {(8)}^{2}}$

Etapa 4.2

Eleve $8$ à potência de $2$ .

Adjacente $= \sqrt{81 - 1 \cdot 64}$

Etapa 4.3

Multiplique $- 1$ por $64$ .

Adjacente $= \sqrt{81 - 64}$

Etapa 4.4

Subtraia $64$ de $81$ .

Adjacente $= \sqrt{17}$

Etapa 5

Use a definição de cosseno para encontrar o valor de $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{adjacente}{hipotenusa}$

Etapa 6

Substitua os valores conhecidos.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{17}}{9}$

Etapa 7

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1$

Etapa 8

Use a definição de $c o s$ para encontrar o valor de $\cos (x)$ . Nesse caso, $\cos (x) = \frac{\sqrt{17}}{9}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{17}}{9}$

Etapa 9

Substitua os valores em $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$\cos (2 x) = 2 {(\frac{\sqrt{17}}{9})}^{2} - 1$

Etapa 10

Some $2 {(\frac{\sqrt{17}}{9})}^{2} - 1$ para encontrar $\cos (2 x)$ .

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Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{17}}{9}$ .

$\cos (2 x) = 2 (\frac{{\sqrt{17}}^{2}}{9^{2}}) - 1$

Etapa 10.1.2

Reescreva ${\sqrt{17}}^{2}$ como $17$ .

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Etapa 10.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{17}$ como $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (2 x) = 2 (\frac{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9^{2}}) - 1$

Etapa 10.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (2 x) = 2 (\frac{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9^{2}}) - 1$

Etapa 10.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\cos (2 x) = 2 (\frac{17^{\frac{2}{2}}}{9^{2}}) - 1$

Etapa 10.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\cos (2 x) = 2 (\frac{17^{\frac{2}{2}}}{9^{2}}) - 1$

Etapa 10.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\cos (2 x) = 2 (\frac{17}{9^{2}}) - 1$

Etapa 10.1.2.5

Avalie o expoente.

$\cos (2 x) = 2 (\frac{17}{9^{2}}) - 1$

Etapa 10.1.3

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$\cos (2 x) = 2 (\frac{17}{81}) - 1$

Etapa 10.1.4

Multiplique $2 (\frac{17}{81})$ .

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Etapa 10.1.4.1

Combine $2$ e $\frac{17}{81}$ .

$\cos (2 x) = \frac{2 \cdot 17}{81} - 1$

Etapa 10.1.4.2

Multiplique $2$ por $17$ .

$\cos (2 x) = \frac{34}{81} - 1$

Etapa 10.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{81}{81}$ .

$\cos (2 x) = \frac{34}{81} - 1 \cdot \frac{81}{81}$

Etapa 10.3

Combine $- 1$ e $\frac{81}{81}$ .

$\cos (2 x) = \frac{34}{81} + \frac{- 1 \cdot 81}{81}$

Etapa 10.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\cos (2 x) = \frac{34 - 1 \cdot 81}{81}$

Etapa 10.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.5.1

Multiplique $- 1$ por $81$ .

$\cos (2 x) = \frac{34 - 81}{81}$

Etapa 10.5.2

Subtraia $81$ de $34$ .

$\cos (2 x) = \frac{- 47}{81}$

Etapa 10.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cos (2 x) = - \frac{47}{81}$