Trigonometria Exemplos

$\cos (2 a)$

Etapa 1

Um bom método para expandir $\cos (2 a)$ é usando o teorema de De Moivre $(r {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n} = r^{n} (\cos (n x) + i \cdot \sin (n x)))$ . Quando $r = 1$ , $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ .

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$

Etapa 2

Expanda o lado direito de $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ usando o teorema binomial.

Expandir: ${(\cos (a) + i \cdot \sin (a))}^{2}$

Etapa 3

Reescreva ${(\cos (a) + i \sin (a))}^{2}$ como $(\cos (a) + i \sin (a)) (\cos (a) + i \sin (a))$ .

$(\cos (a) + i \sin (a)) (\cos (a) + i \sin (a))$

Etapa 4

Expanda $(\cos (a) + i \sin (a)) (\cos (a) + i \sin (a))$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (a) (\cos (a) + i \sin (a)) + i \sin (a) (\cos (a) + i \sin (a))$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (a) \cos (a) + \cos (a) (i \sin (a)) + i \sin (a) (\cos (a) + i \sin (a))$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (a) \cos (a) + \cos (a) (i \sin (a)) + i \sin (a) \cos (a) + i \sin (a) (i \sin (a))$

Etapa 5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1

Multiplique $\cos (a) \cos (a)$ .

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Etapa 5.1.1.1

Eleve $\cos (a)$ à potência de $1$ .

$\cos^{1} (a) \cos (a) + \cos (a) (i \sin (a)) + i \sin (a) \cos (a) + i \sin (a) (i \sin (a))$

Etapa 5.1.1.2

Eleve $\cos (a)$ à potência de $1$ .

$\cos^{1} (a) \cos^{1} (a) + \cos (a) (i \sin (a)) + i \sin (a) \cos (a) + i \sin (a) (i \sin (a))$

Etapa 5.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\cos (a)}^{1 + 1} + \cos (a) (i \sin (a)) + i \sin (a) \cos (a) + i \sin (a) (i \sin (a))$

Etapa 5.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (a) + \cos (a) (i \sin (a)) + i \sin (a) \cos (a) + i \sin (a) (i \sin (a))$

Etapa 5.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\cos^{2} (a) + i \cos (a) \sin (a) + i \sin (a) \cos (a) + i \sin (a) (i \sin (a))$

Etapa 5.1.3

Multiplique $i \sin (a) (i \sin (a))$ .

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Etapa 5.1.3.1

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (a) + i \cos (a) \sin (a) + i \sin (a) \cos (a) + i^{1} i \sin (a) \sin (a)$

Etapa 5.1.3.2

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (a) + i \cos (a) \sin (a) + i \sin (a) \cos (a) + i^{1} i^{1} \sin (a) \sin (a)$

Etapa 5.1.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos^{2} (a) + i \cos (a) \sin (a) + i \sin (a) \cos (a) + i^{1 + 1} \sin (a) \sin (a)$

Etapa 5.1.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (a) + i \cos (a) \sin (a) + i \sin (a) \cos (a) + i^{2} \sin (a) \sin (a)$

Etapa 5.1.3.5

Eleve $\sin (a)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (a) + i \cos (a) \sin (a) + i \sin (a) \cos (a) + i^{2} (\sin^{1} (a) \sin (a))$

Etapa 5.1.3.6

Eleve $\sin (a)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (a) + i \cos (a) \sin (a) + i \sin (a) \cos (a) + i^{2} (\sin^{1} (a) \sin^{1} (a))$

Etapa 5.1.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos^{2} (a) + i \cos (a) \sin (a) + i \sin (a) \cos (a) + i^{2} {\sin (a)}^{1 + 1}$

Etapa 5.1.3.8

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (a) + i \cos (a) \sin (a) + i \sin (a) \cos (a) + i^{2} \sin^{2} (a)$

Etapa 5.1.4

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$\cos^{2} (a) + i \cos (a) \sin (a) + i \sin (a) \cos (a) - 1 \sin^{2} (a)$

Etapa 5.1.5

Reescreva $- 1 \sin^{2} (a)$ como $- \sin^{2} (a)$ .

$\cos^{2} (a) + i \cos (a) \sin (a) + i \sin (a) \cos (a) - \sin^{2} (a)$

Etapa 5.2

Reordene os fatores de $i \sin (a) \cos (a)$ .

$\cos^{2} (a) + i \cos (a) \sin (a) + i \cos (a) \sin (a) - \sin^{2} (a)$

Etapa 5.3

Some $i \cos (a) \sin (a)$ e $i \cos (a) \sin (a)$ .

$\cos^{2} (a) + 2 i \cos (a) \sin (a) - \sin^{2} (a)$

Etapa 6

Mova $- \sin^{2} (a)$ .

$\cos^{2} (a) - \sin^{2} (a) + 2 i \cos (a) \sin (a)$

Etapa 7

Aplique a fórmula do arco duplo do cosseno.

$\cos (2 a) + 2 i \cos (a) \sin (a)$

Etapa 8

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.1

Adicione parênteses.

$\cos (2 a) + 2 i (\cos (a) \sin (a))$

Etapa 8.2

Reordene $2 i$ e $\cos (a) \sin (a)$ .

$\cos (2 a) + \cos (a) \sin (a) (2 i)$

Etapa 8.3

Adicione parênteses.

$\cos (2 a) + \cos (a) (\sin (a) \cdot 2) i$

Etapa 8.4

Reordene $\cos (a)$ e $\sin (a) \cdot 2$ .

$\cos (2 a) + \sin (a) \cdot 2 \cos (a) i$

Etapa 8.5

Reordene $\sin (a)$ e $2$ .

$\cos (2 a) + 2 \cdot \sin (a) \cos (a) i$

Etapa 8.6

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\cos (2 a) + \sin (2 a) i$

Etapa 9

Reordene os fatores em $\cos (2 a) + \sin (2 a) i$ .

$\cos (2 a) + i \sin (2 a)$

Etapa 10

Retire as expressões com a parte imaginária, que são iguais a $\cos (2 a)$ . Remova o número imaginário $i$ .

$\cos (2 a) = 2 \cos^{2} (a) - 1$