Trigonometria Exemplos

${(3 (\cos (15) + i \sin (15)))}^{3}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

O valor exato de $\cos (15)$ é $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.1.1

Divida $15$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

${(3 (\cos (45 - 30) + i \sin (15)))}^{3}$

Etapa 1.1.2

Separar negativação.

${(3 (\cos (45 - (30)) + i \sin (15)))}^{3}$

Etapa 1.1.3

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

${(3 (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30) + i \sin (15)))}^{3}$

Etapa 1.1.4

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30) + i \sin (15)))}^{3}$

Etapa 1.1.5

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30) + i \sin (15)))}^{3}$

Etapa 1.1.6

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30) + i \sin (15)))}^{3}$

Etapa 1.1.7

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15)))}^{3}$

Etapa 1.1.8

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.1.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.8.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 1.1.8.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15)))}^{3}$

Etapa 1.1.8.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

${(3 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15)))}^{3}$

Etapa 1.1.8.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15)))}^{3}$

Etapa 1.1.8.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15)))}^{3}$

Etapa 1.1.8.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.1.8.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + i \sin (15)))}^{3}$

Etapa 1.1.8.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + i \sin (15)))}^{3}$

Etapa 1.1.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \sin (15)))}^{3}$

Etapa 1.2

O valor exato de $\sin (15)$ é $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.2.1

Divida $15$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \sin (45 - 30)))}^{3}$

Etapa 1.2.2

Separar negativação.

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \sin (45 - (30))))}^{3}$

Etapa 1.2.3

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30))))}^{3}$

Etapa 1.2.4

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30))))}^{3}$

Etapa 1.2.5

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30))))}^{3}$

Etapa 1.2.6

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))))}^{3}$

Etapa 1.2.7

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))}^{3}$

Etapa 1.2.8

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.2.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.8.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 1.2.8.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))}^{3}$

Etapa 1.2.8.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))}^{3}$

Etapa 1.2.8.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))}^{3}$

Etapa 1.2.8.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))}^{3}$

Etapa 1.2.8.1.2

Multiplique $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.2.8.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})))}^{3}$

Etapa 1.2.8.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})))}^{3}$

Etapa 1.2.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}))}^{3}$

Etapa 1.3

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{i (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}))}^{3}$

Etapa 2

Combine frações.

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Etapa 2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(3 \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}}{4})}^{3}$

Etapa 2.2

Combine $3$ e $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}}{4}$ .

${(\frac{3 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4})}^{3}$

Etapa 3

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4}$ .

$\frac{{(3 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}))}^{3}}{4^{3}}$

Etapa 3.2

Aplique a regra do produto a $3 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})$ .

$\frac{3^{3} {(\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}^{3}}{4^{3}}$

Etapa 4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{27 {(\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}^{3}}{4^{3}}$

Etapa 5

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$\frac{27 {(\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}^{3}}{64}$