Trigonometria Exemplos

${(- 1 + i)}^{5}$

Etapa 1

Use o teorema binomial.

${(- 1)}^{5} + 5 {(- 1)}^{4} i + 10 {(- 1)}^{3} i^{2} + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$- 1 + 5 {(- 1)}^{4} i + 10 {(- 1)}^{3} i^{2} + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$- 1 + 5 \cdot 1 i + 10 {(- 1)}^{3} i^{2} + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$- 1 + 5 i + 10 {(- 1)}^{3} i^{2} + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- 1 + 5 i + 10 \cdot - 1 i^{2} + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.5

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$- 1 + 5 i - 10 i^{2} + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.6

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 1 + 5 i - 10 \cdot - 1 + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.7

Multiplique $- 10$ por $- 1$ .

$- 1 + 5 i + 10 + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 1 + 5 i + 10 + 10 \cdot 1 i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.9

Multiplique $10$ por $1$ .

$- 1 + 5 i + 10 + 10 i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.10

Fatore $i^{2}$ .

$- 1 + 5 i + 10 + 10 (i^{2} \cdot i) + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.11

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 1 + 5 i + 10 + 10 (- 1 \cdot i) + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.12

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$- 1 + 5 i + 10 + 10 (- i) + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.13

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.14

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.15

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.15.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 {(i^{2})}^{2} + i^{5}$

Etapa 2.1.15.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 {(- 1)}^{2} + i^{5}$

Etapa 2.1.15.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 \cdot 1 + i^{5}$

Etapa 2.1.16

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 + i^{5}$

Etapa 2.1.17

Fatore $i^{4}$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 + i^{4} i$

Etapa 2.1.18

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.18.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 + {(i^{2})}^{2} i$

Etapa 2.1.18.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 + {(- 1)}^{2} i$

Etapa 2.1.18.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 + 1 i$

Etapa 2.1.19

Multiplique $i$ por $1$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 + i$

Etapa 2.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.2.1

Some $- 1$ e $10$ .

$9 + 5 i - 10 i - 5 + i$

Etapa 2.2.2

Subtraia $5$ de $9$ .

$4 + 5 i - 10 i + i$

Etapa 2.2.3

Subtraia $10 i$ de $5 i$ .

$4 - 5 i + i$

Etapa 2.2.4

Some $- 5 i$ e $i$ .

$4 - 4 i$

Etapa 3

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 4

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 5

Substitua os valores reais de $a = 4$ e $b = - 4$ .

$| z | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + 4^{2}}$

Etapa 6

Encontre $| z |$ .

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Etapa 6.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 4^{2}}$

Etapa 6.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16}$

Etapa 6.3

Some $16$ e $16$ .

$| z | = \sqrt{32}$

Etapa 6.4

Reescreva $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 6.4.1

Fatore $16$ de $32$ .

$| z | = \sqrt{16 (2)}$

Etapa 6.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Etapa 6.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$| z | = 4 \sqrt{2}$

Etapa 7

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{- 4}{4})$

Etapa 8

Como a tangente inversa de $\frac{- 4}{4}$ produz um ângulo no quarto quadrante, o valor do ângulo é $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Etapa 9

Substitua os valores de $θ = - \frac{π}{4}$ e $| z | = 4 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2} (\cos (- \frac{π}{4}) + i \sin (- \frac{π}{4}))$