Trigonometria Exemplos

${(1 + i)}^{3}$

Etapa 1

Use o teorema binomial.

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} i + 3 \cdot 1 i^{2} + i^{3}$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 3 \cdot 1^{2} i + 3 \cdot 1 i^{2} + i^{3}$

Etapa 2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 3 \cdot 1 i + 3 \cdot 1 i^{2} + i^{3}$

Etapa 2.1.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$1 + 3 i + 3 \cdot 1 i^{2} + i^{3}$

Etapa 2.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$1 + 3 i + 3 i^{2} + i^{3}$

Etapa 2.1.5

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 3 i + 3 \cdot - 1 + i^{3}$

Etapa 2.1.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$1 + 3 i - 3 + i^{3}$

Etapa 2.1.7

Fatore $i^{2}$ .

$1 + 3 i - 3 + i^{2} \cdot i$

Etapa 2.1.8

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 3 i - 3 - 1 \cdot i$

Etapa 2.1.9

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$1 + 3 i - 3 - i$

Etapa 2.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.2.1

Subtraia $3$ de $1$ .

$- 2 + 3 i - i$

Etapa 2.2.2

Subtraia $i$ de $3 i$ .

$- 2 + 2 i$

Etapa 3

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 4

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 5

Substitua os valores reais de $a = - 2$ e $b = 2$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Etapa 6

Encontre $| z |$ .

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Etapa 6.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{4 + {(- 2)}^{2}}$

Etapa 6.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{4 + 4}$

Etapa 6.3

Some $4$ e $4$ .

$| z | = \sqrt{8}$

Etapa 6.4

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 6.4.1

Fatore $4$ de $8$ .

$| z | = \sqrt{4 (2)}$

Etapa 6.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Etapa 6.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$| z | = 2 \sqrt{2}$

Etapa 7

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{2}{- 2})$

Etapa 8

Como a tangente inversa de $\frac{2}{- 2}$ produz um ângulo no segundo quadrante, o valor do ângulo é $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Etapa 9

Substitua os valores de $θ = \frac{3 π}{4}$ e $| z | = 2 \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$