Trigonometria Exemplos

$5 \sqrt{3} + 5 i$

Etapa 1

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 2

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 3

Substitua os valores reais de $a = 5 \sqrt{3}$ e $b = 5$ .

$| z | = \sqrt{5^{2} + {(5 \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 4

Encontre $| z |$ .

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Etapa 4.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{25 + {(5 \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Aplique a regra do produto a $5 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{25 + 5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 4.1.3

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{25 + 25 {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 4.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{25 + 25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.4.1

Cancele o fator comum.

$| z | = \sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.2.4.2

Reescreva a expressão.

$| z | = \sqrt{25 + 25 \cdot 3}$

Etapa 4.2.5

Avalie o expoente.

$| z | = \sqrt{25 + 25 \cdot 3}$

Etapa 4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $25$ por $3$ .

$| z | = \sqrt{25 + 75}$

Etapa 4.3.2

Some $25$ e $75$ .

$| z | = \sqrt{100}$

Etapa 4.3.3

Reescreva $100$ como $10^{2}$ .

$| z | = \sqrt{10^{2}}$

Etapa 4.3.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| z | = 10$

Etapa 5

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{5}{5 \sqrt{3}})$

Etapa 6

Como a tangente inversa de $\frac{5}{5 \sqrt{3}}$ produz um ângulo no primeiro quadrante, o valor do ângulo é $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Etapa 7

Substitua os valores de $θ = \frac{π}{6}$ e $| z | = 10$ .

$10 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$