Trigonometria Exemplos

$\tan (67.5)$

Etapa 1

Reescreva $67.5$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\tan (\frac{135}{2})$

Etapa 2

Aplique a fórmula do arco metade da tangente.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}$

Etapa 3

Altere o $\pm$ para $+$ , porque a tangente é positiva no primeiro quadrante.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}$

Etapa 4

Simplifique $\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}$ .

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Etapa 4.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{1 + \cos (135)}}$

Etapa 4.2

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

Etapa 4.3

Multiplique $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

Etapa 4.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

Etapa 4.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (45)}}$

Etapa 4.7

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 4.8

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 4.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 4.10

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}$

Etapa 4.11

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.11.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}$

Etapa 4.11.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}}$

Etapa 4.12

Multiplique $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ por $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})}$

Etapa 4.13

Multiplique $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ por $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}$

Etapa 4.14

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Etapa 4.15

Simplifique.

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 4.16

Aplique a propriedade distributiva.

$\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 4.17

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.17.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 4.17.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 4.18

Combine $\sqrt{2}$ e $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Etapa 4.19

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.19.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 4.19.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 4.19.3

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}$

Etapa 4.19.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.19.4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}$

Etapa 4.19.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}$

Etapa 4.19.4.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}}$

Etapa 4.19.5

Cancele o fator comum de $2 \sqrt{2} + 2$ e $2$ .

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Etapa 4.19.5.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}}$

Etapa 4.19.5.2

Fatore $2$ de $2$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}}$

Etapa 4.19.5.3

Fatore $2$ de $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}}$

Etapa 4.19.5.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.19.5.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}}$

Etapa 4.19.5.4.2

Cancele o fator comum.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}}$

Etapa 4.19.5.4.3

Reescreva a expressão.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}}$

Etapa 4.19.5.4.4

Divida $\sqrt{2} + 1$ por $1$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1}$

Etapa 4.20

Some $2$ e $1$ .

$\sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}$

Etapa 4.21

Some $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Forma decimal:

$2.41421356 \dots$