Trigonometria Exemplos

$f (x) = \cos (x + 2) + 1$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \cos (x + 2) + 1$ como uma equação.

$y = \cos (x + 2) + 1$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \cos (y + 2) + 1$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\cos (y + 2) + 1 = x$ .

$\cos (y + 2) + 1 = x$

Etapa 3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\cos (y + 2) = x - 1$

Etapa 3.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do cosseno.

$y + 2 = \arccos (x - 1)$

Etapa 3.4

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$y = \arccos (x - 1) - 2$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \arccos (x - 1) - 2$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \arccos (x - 1) - 2$ é o inverso de $f (x) = \cos (x + 2) + 1$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\cos (x + 2) + 1)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos (x + 2) + 1) = \arccos ((\cos (x + 2) + 1) - 1) - 2$

Etapa 5.2.3

Combine os termos opostos em $\arccos ((\cos (x + 2) + 1) - 1) - 2$ .

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Etapa 5.2.3.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\cos (x + 2) + 1) = \arccos (\cos (x + 2) + 0) - 2$

Etapa 5.2.3.2

Some $\cos (x + 2)$ e $0$ .

$f^{- 1} (\cos (x + 2) + 1) = \arccos (\cos (x + 2)) - 2$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\arccos (x - 1) - 2)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\arccos (x - 1) - 2) = \cos ((\arccos (x - 1) - 2) + 2) + 1$

Etapa 5.3.3

Combine os termos opostos em $\cos ((\arccos (x - 1) - 2) + 2) + 1$ .

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Etapa 5.3.3.1

Some $- 2$ e $2$ .

$f (\arccos (x - 1) - 2) = \cos (\arccos (x - 1) + 0) + 1$

Etapa 5.3.3.2

Some $\arccos (x - 1)$ e $0$ .

$f (\arccos (x - 1) - 2) = \cos (\arccos (x - 1)) + 1$

Etapa 5.3.4

As funções cosseno e arco cosseno são inversos.

$f (\arccos (x - 1) - 2) = x - 1 + 1$

Etapa 5.3.5

Combine os termos opostos em $x - 1 + 1$ .

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Etapa 5.3.5.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f (\arccos (x - 1) - 2) = x + 0$

Etapa 5.3.5.2

Some $x$ e $0$ .

$f (\arccos (x - 1) - 2) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \arccos (x - 1) - 2$ é o inverso de $f (x) = \cos (x + 2) + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \arccos (x - 1) - 2$