Trigonometria Exemplos

$f (x) = \sqrt[3]{4 x - 1}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \sqrt[3]{4 x - 1}$ como uma equação.

$y = \sqrt[3]{4 x - 1}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \sqrt[3]{4 y - 1}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\sqrt[3]{4 y - 1} = x$ .

$\sqrt[3]{4 y - 1} = x$

Etapa 3.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{4 y - 1}}^{3} = x^{3}$

Etapa 3.3

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{4 y - 1}$ como ${(4 y - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(4 y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique ${({(4 y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(4 y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 3.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Etapa 3.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(4 y - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Etapa 3.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(4 y - 1)}^{1} = x^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique.

$4 y - 1 = x^{3}$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.4.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$4 y = x^{3} + 1$

Etapa 3.4.2

Divida cada termo em $4 y = x^{3} + 1$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 3.4.2.1

Divida cada termo em $4 y = x^{3} + 1$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$

Etapa 3.4.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$ é o inverso de $f (x) = \sqrt[3]{4 x - 1}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{{(\sqrt[3]{4 x - 1})}^{3}}{4} + \frac{1}{4}$

Etapa 5.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{{(\sqrt[3]{4 x - 1})}^{3} + 1}{4}$

Etapa 5.2.4

Reescreva ${\sqrt[3]{4 x - 1}}^{3}$ como $4 x - 1$ .

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Etapa 5.2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{4 x - 1}$ como ${(4 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{{({(4 x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 1}{4}$

Etapa 5.2.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 1}{4}$

Etapa 5.2.4.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{3}} + 1}{4}$

Etapa 5.2.4.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{3}} + 1}{4}$

Etapa 5.2.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{(4 x - 1) + 1}{4}$

Etapa 5.2.4.5

Simplifique.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{4 x - 1 + 1}{4}$

Etapa 5.2.5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.2.5.1

Combine os termos opostos em $4 x - 1 + 1$ .

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Etapa 5.2.5.1.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Etapa 5.2.5.1.2

Some $4 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{4 x}{4}$

Etapa 5.2.5.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.2.5.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{4 x}{4}$

Etapa 5.2.5.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{4 (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) - 1}$

Etapa 5.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{4 (\frac{x^{3}}{4}) + 4 (\frac{1}{4}) - 1}$

Etapa 5.3.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{4 (\frac{x^{3}}{4}) + 4 (\frac{1}{4}) - 1}$

Etapa 5.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{x^{3} + 4 (\frac{1}{4}) - 1}$

Etapa 5.3.5

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.3.5.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{x^{3} + 4 (\frac{1}{4}) - 1}$

Etapa 5.3.5.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{x^{3} + 1 - 1}$

Etapa 5.3.6

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 5.3.6.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Etapa 5.3.6.2

Some $x^{3}$ e $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Etapa 5.3.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$ é o inverso de $f (x) = \sqrt[3]{4 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$