Trigonometria Exemplos

$f (x) = {\tan (2 x)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\sqrt{\tan^{1} (2 x)}$

Etapa 1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\sqrt{\tan (2 x)}$

Etapa 2

Defina o radicando em $\sqrt{\tan (2 x)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\tan (2 x) \geq 0$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$2 x \geq \arctan (0)$

Etapa 3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.1

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$2 x \geq 0$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $2 x \geq 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $2 x \geq 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{0}{2}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x \geq 0$

Etapa 3.4

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$2 x = π + 0$

Etapa 3.5

Resolva $x$ .

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Etapa 3.5.1

Some $π$ e $0$ .

$2 x = π$

Etapa 3.5.2

Divida cada termo em $2 x = π$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.5.2.1

Divida cada termo em $2 x = π$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Etapa 3.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Etapa 3.5.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 3.6

Encontre o período de $\tan (2 x)$ .

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Etapa 3.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 3.6.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 2 |}$

Etapa 3.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{π}{2}$

Etapa 3.7

O período da função $\tan (2 x)$ é $\frac{π}{2}$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $\frac{π}{2}$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{2} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.8

Consolide as respostas.

$x = \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.9

Encontre o domínio de $\tan (2 x)$ .

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Etapa 3.9.1

Defina o argumento em $\tan (2 x)$ como igual a $\frac{π}{2} + π n$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 x = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.9.2

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{2} + π n$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.9.2.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{2} + π n$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Etapa 3.9.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.9.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.9.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Etapa 3.9.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Etapa 3.9.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.9.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.9.2.3.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π n}{2}$

Etapa 3.9.2.3.1.2

Multiplique $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 3.9.2.3.1.2.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2} + \frac{π n}{2}$

Etapa 3.9.2.3.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

Etapa 3.9.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

${x | x \neq \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}}$ $n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$0 < x < \frac{π}{4}$

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$

Etapa 3.11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 3.11.1

Teste um valor no intervalo $0 < x < \frac{π}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 3.11.1.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < \frac{π}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.39$

Etapa 3.11.1.2

Substitua $x$ por $0.39$ na desigualdade original.

$\tan (2 (0.39)) \geq 0$

Etapa 3.11.1.3

O lado esquerdo $0.98926153$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 3.11.2

Teste um valor no intervalo $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 3.11.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1$

Etapa 3.11.2.2

Substitua $x$ por $1$ na desigualdade original.

$\tan (2 (1)) \geq 0$

Etapa 3.11.2.3

O lado esquerdo $- 2.18503986$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 3.11.3

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$0 < x < \frac{π}{4}$ Verdadeiro

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ Falso

$0 < x < \frac{π}{4}$ Verdadeiro

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ Falso

Etapa 3.12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 + \frac{π n}{2} \leq x < \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Defina o argumento em $\tan (2 x)$ como igual a $\frac{π}{2} + π n$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 x = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{2} + π n$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{2} + π n$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π n}{2}$

Etapa 5.3.1.2

Multiplique $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 5.3.1.2.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2} + \frac{π n}{2}$

Etapa 5.3.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

Etapa 6

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x = 0 + \frac{π n}{2}, x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, x \neq \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}}$

Etapa 7

Determine o domínio e o intervalo.

Domínio: ${x | x = 0 + \frac{π n}{2}, x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, x \neq \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}}$

Intervalo:

Etapa 8