Trigonometria Exemplos

$\sin (x) < 0$ , $\cot (x) > 0$

Etapa 1

Simplifique a primeira desigualdade.

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Etapa 1.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x < \arcsin (0)$ e $\cot (x) > 0$

Etapa 1.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x < 0$ e $\cot (x) > 0$

Etapa 1.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$ e $\cot (x) > 0$

Etapa 1.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$ e $\cot (x) > 0$

Etapa 1.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 1.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 1.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 1.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 1.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ e $\cot (x) > 0$

Etapa 1.7

Consolide as respostas.

$x = π n$ e $\cot (x) > 0$

Etapa 1.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$0 < x < π$

$π < x < 2 π$ e $\cot (x) > 0$

Etapa 1.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 1.9.1

Teste um valor no intervalo $0 < x < π$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < π$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$ e $\cot (x) > 0$

Etapa 1.9.1.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\sin (2) < 0$ e $\cot (x) > 0$

Etapa 1.9.1.3

O lado esquerdo $0.90929742$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso e $\cot (x) > 0$

Etapa 1.9.2

Teste um valor no intervalo $π < x < 2 π$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.9.2.1

Escolha um valor no intervalo $π < x < 2 π$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 5$ e $\cot (x) > 0$

Etapa 1.9.2.2

Substitua $x$ por $5$ na desigualdade original.

$\sin (5) < 0$ e $\cot (x) > 0$

Etapa 1.9.2.3

O lado esquerdo $- 0.95892427$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro e $\cot (x) > 0$

Etapa 1.9.3

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$0 < x < π$ Falso

$π < x < 2 π$ True and $\cot (x) > 0$

$0 < x < π$ Falso

$π < x < 2 π$ True and $\cot (x) > 0$

Etapa 1.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ e $\cot (x) > 0$

Etapa 2

Simplifique a segunda desigualdade.

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Etapa 2.1

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cotangente.

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ e $x > arccot (0)$

Etapa 2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.1

O valor exato de $arccot (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ e $x > \frac{π}{2}$

Etapa 2.3

A função da cotangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ e $x = π + \frac{π}{2}$

Etapa 2.4

Simplifique $π + \frac{π}{2}$ .

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Etapa 2.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ e $x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 2.4.2

Combine frações.

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Etapa 2.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ e $x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ e $x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Etapa 2.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ e $x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Etapa 2.4.3.2

Some $2 π$ e $π$ .

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ e $x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 2.5

Encontre o período de $\cot (x)$ .

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Etapa 2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 2.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 2.6

O período da função $\cot (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ e $x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$

Etapa 2.7

Consolide as respostas.

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ e $x = \frac{π}{2} + π n$

Etapa 2.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ e $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

Etapa 2.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.9.1

Teste um valor no intervalo $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ e $x = 3$

Etapa 2.9.1.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ e $\cot (3) > 0$

Etapa 2.9.1.3

O lado esquerdo $- 7.01525255$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ and False

Etapa 2.9.2

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ and $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ False

Etapa 2.10

Como não há números que se enquadram no intervalo, essa desigualdade não tem solução.

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ and No solution

Nenhuma solução