Trigonometria Exemplos

$3 < 2 y^{2} + 5 y$

Etapa 1

Reescreva de forma que $y$ esteja do lado esquerdo da desigualdade.

$2 y^{2} + 5 y > 3$

Etapa 2

Converta a desigualdade em uma equação.

$2 y^{2} + 5 y = 3$

Etapa 3

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 y^{2} + 5 y - 3 = 0$

Etapa 4

Fatore por agrupamento.

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Etapa 4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ e cuja soma é $b = 5$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $5$ de $5 y$ .

$2 y^{2} + 5 (y) - 3 = 0$

Etapa 4.1.2

Reescreva $5$ como $- 1$ mais $6$

$2 y^{2} + (- 1 + 6) y - 3 = 0$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y^{2} - 1 y + 6 y - 3 = 0$

Etapa 4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(2 y^{2} - 1 y) + 6 y - 3 = 0$

Etapa 4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$y (2 y - 1) + 3 (2 y - 1) = 0$

Etapa 4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 y - 1$ .

$(2 y - 1) (y + 3) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 y - 1 = 0$

$y + 3 = 0$

Etapa 6

Defina $2 y - 1$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 6.1

Defina $2 y - 1$ como igual a $0$ .

$2 y - 1 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $2 y - 1 = 0$ para $y$ .

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Etapa 6.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 y = 1$

Etapa 6.2.2

Divida cada termo em $2 y = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 6.2.2.1

Divida cada termo em $2 y = 1$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2}$

Etapa 7

Defina $y + 3$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 7.1

Defina $y + 3$ como igual a $0$ .

$y + 3 = 0$

Etapa 7.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$y = - 3$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $(2 y - 1) (y + 3) = 0$ verdadeiro.

$y = \frac{1}{2}, - 3$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$y < - 3$

$- 3 < y < \frac{1}{2}$

$y > \frac{1}{2}$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $y < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $y < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$y = - 6$

Etapa 10.1.2

Substitua $y$ por $- 6$ na desigualdade original.

$3 < 2 {(- 6)}^{2} + 5 (- 6)$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $3$ é menor do que o lado direito $42$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < y < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < y < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$y = 0$

Etapa 10.2.2

Substitua $y$ por $0$ na desigualdade original.

$3 < 2 {(0)}^{2} + 5 (0)$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $3$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $y > \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $y > \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$y = 3$

Etapa 10.3.2

Substitua $y$ por $3$ na desigualdade original.

$3 < 2 {(3)}^{2} + 5 (3)$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $3$ é menor do que o lado direito $33$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 10.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$y < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < y < \frac{1}{2}$ Falso

$y > \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$y < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < y < \frac{1}{2}$ Falso

$y > \frac{1}{2}$ Verdadeiro

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$y < - 3$ ou $y > \frac{1}{2}$

Etapa 12

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, - 3) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Etapa 13