Trigonometria Exemplos

$\sin (x) > \cos (x)$

Etapa 1

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} > \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Etapa 2

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\tan (x) > \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Etapa 3

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum.

$\tan (x) > \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Etapa 3.2

Reescreva a expressão.

$\tan (x) > 1$

Etapa 4

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x > \arctan (1)$

Etapa 5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$x > \frac{π}{4}$

Etapa 6

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Etapa 7

Simplifique $π + \frac{π}{4}$ .

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Etapa 7.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 7.2

Combine frações.

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Etapa 7.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 7.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 7.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 7.3.2

Some $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 8

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 8.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 8.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 8.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 9

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\sin (2) > \cos (2)$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $0.90929742$ é maior do que o lado direito $- 0.41614683$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $\frac{5 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{5 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 5$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $5$ na desigualdade original.

$\sin (5) > \cos (5)$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $- 0.95892427$ não é maior do que o lado direito $0.28366218$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.3

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ Verdadeiro

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ Falso

$\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ Verdadeiro

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ Falso

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$\frac{π}{4} + π n < x < \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(\frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n)$

Etapa 14