Trigonometria Exemplos

$\tan (3 x - \frac{π}{2}) > 1$

Etapa 1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$3 x - \frac{π}{2} > \arctan (1)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{2} > \frac{π}{4}$

Etapa 3

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da desigualdade.

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Etapa 3.1

Some $\frac{π}{2}$ aos dois lados da desigualdade.

$3 x > \frac{π}{4} + \frac{π}{2}$

Etapa 3.2

Para escrever $\frac{π}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$3 x > \frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.3.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$3 x > \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$3 x > \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

Etapa 3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 x > \frac{π + π \cdot 2}{4}$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$3 x > \frac{π + 2 \cdot π}{4}$

Etapa 3.5.2

Some $π$ e $2 π$ .

$3 x > \frac{3 π}{4}$

Etapa 4

Divida cada termo em $3 x > \frac{3 π}{4}$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $3 x > \frac{3 π}{4}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} > \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} > \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x > \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x > \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 4.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.3.2.1

Fatore $3$ de $3 π$ .

$x > \frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$x > \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$x > \frac{π}{4}$

Etapa 5

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$3 x - \frac{π}{2} = π + \frac{π}{4}$

Etapa 6

Resolva $x$ .

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Etapa 6.1

Simplifique $π + \frac{π}{4}$ .

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Etapa 6.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{2} = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 6.1.2

Combine frações.

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Etapa 6.1.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 6.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 6.1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 6.1.3.2

Some $4 π$ e $π$ .

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{5 π}{4}$

Etapa 6.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.2.1

Some $\frac{π}{2}$ aos dois lados da equação.

$3 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π}{2}$

Etapa 6.2.2

Para escrever $\frac{π}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 6.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 6.2.3.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$3 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

Etapa 6.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 x = \frac{5 π + π \cdot 2}{4}$

Etapa 6.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.5.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$3 x = \frac{5 π + 2 \cdot π}{4}$

Etapa 6.2.5.2

Some $5 π$ e $2 π$ .

$3 x = \frac{7 π}{4}$

Etapa 6.3

Divida cada termo em $3 x = \frac{7 π}{4}$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 6.3.1

Divida cada termo em $3 x = \frac{7 π}{4}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{4}}{3}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{4}}{3}$

Etapa 6.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{4}}{3}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 6.3.3.2

Multiplique $\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Etapa 6.3.3.2.1

Multiplique $\frac{7 π}{4}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{7 π}{4 \cdot 3}$

Etapa 6.3.3.2.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Etapa 7

Encontre o período de $\tan (3 x - \frac{π}{2})$ .

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Etapa 7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 7.2

Substitua $b$ por $3$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 3 |}$

Etapa 7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$\frac{π}{3}$

Etapa 8

O período da função $\tan (3 x - \frac{π}{2})$ é $\frac{π}{3}$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $\frac{π}{3}$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}, \frac{7 π}{12} + \frac{π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

Encontre o domínio de $\tan (3 x - \frac{π}{2}) - 1$ .

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Etapa 10.1

Defina o argumento em $\tan (3 x - \frac{π}{2})$ como igual a $\frac{π}{2} + π n$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10.2

Resolva $x$ .

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Etapa 10.2.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 10.2.1.1

Some $\frac{π}{2}$ aos dois lados da equação.

$3 x = \frac{π}{2} + π n + \frac{π}{2}$

Etapa 10.2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 x = π n + \frac{π + π}{2}$

Etapa 10.2.1.3

Some $π$ e $π$ .

$3 x = π n + \frac{2 π}{2}$

Etapa 10.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$3 x = π n + \frac{2 π}{2}$

Etapa 10.2.1.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$3 x = π n + π$

Etapa 10.2.2

Divida cada termo em $3 x = π n + π$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 10.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = π n + π$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{π n}{3} + \frac{π}{3}$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 10.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{π n}{3} + \frac{π}{3}$

Etapa 10.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{π n}{3} + \frac{π}{3}$

Etapa 10.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

${x | x \neq \frac{π n}{3} + \frac{π}{3}}$ $n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$

Etapa 12

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 12.1

Teste um valor no intervalo $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.1.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1$

Etapa 12.1.2

Substitua $x$ por $1$ na desigualdade original.

$\tan (3 (1) - \frac{π}{2}) > 1$

Etapa 12.1.3

O lado esquerdo $7.01525255$ é maior do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 12.2

Teste um valor no intervalo $\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1.44$

Etapa 12.2.2

Substitua $x$ por $1.44$ na desigualdade original.

$\tan (3 (1.44) - \frac{π}{2}) > 1$

Etapa 12.2.3

O lado esquerdo $- 0.4138503$ não é maior do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 12.3

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ Verdadeiro

$\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$ Falso

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ Verdadeiro

$\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$ Falso

Etapa 13

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$\frac{π}{4} + \frac{π n}{3} < x < \frac{π}{3} + \frac{π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 14

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(\frac{π}{4} + \frac{π n}{3}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{3})$

Etapa 15