Trigonometria Exemplos

$\sin (\frac{x}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$\frac{x}{3} < \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ é $\frac{π}{3}$ .

$\frac{x}{3} < \frac{π}{3}$

Etapa 3

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$x < π$

Etapa 4

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$\frac{x}{3} = π - \frac{π}{3}$

Etapa 5

Resolva $x$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{3})$

Etapa 5.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{3})$

Etapa 5.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 3 (π - \frac{π}{3})$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

Simplifique $3 (π - \frac{π}{3})$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = 3 (π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3})$

Etapa 5.2.2.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 5.2.2.1.2.1

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = 3 (\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3})$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = 3 \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 5.2.2.1.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.2.1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$x = 3 \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 5.2.2.1.2.3.2

Reescreva a expressão.

$x = π \cdot 3 - π$

Etapa 5.2.2.1.3

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$x = 3 π - π$

Etapa 5.2.2.1.4

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$x = 2 π$

Etapa 6

Encontre o período de $\sin (\frac{x}{3})$ .

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Etapa 6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.2

Substitua $b$ por $\frac{1}{3}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Etapa 6.3

$\frac{1}{3}$ é aproximadamente $0.\overline{3}$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Etapa 6.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \cdot 3$

Etapa 6.5

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 π$

Etapa 7

O período da função $\sin (\frac{x}{3})$ é $6 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $6 π$ radianos nas duas direções.

$x = π + 6 π n, 2 π + 6 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$π < x < 2 π$

$2 π < x < 7 π$

$7 π < x < 8 π$

Etapa 9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 9.1

Teste um valor no intervalo $π < x < 2 π$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.1.1

Escolha um valor no intervalo $π < x < 2 π$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 5$

Etapa 9.1.2

Substitua $x$ por $5$ na desigualdade original.

$\sin (\frac{5}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 9.1.3

O lado esquerdo $0.99540795$ não é menor do que o lado direito $0.8660254$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 9.2

Teste um valor no intervalo $2 π < x < 7 π$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.2.1

Escolha um valor no intervalo $2 π < x < 7 π$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 9$

Etapa 9.2.2

Substitua $x$ por $9$ na desigualdade original.

$\sin (\frac{9}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 9.2.3

O lado esquerdo $0.14112$ é menor do que o lado direito $0.8660254$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 9.3

Teste um valor no intervalo $7 π < x < 8 π$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.3.1

Escolha um valor no intervalo $7 π < x < 8 π$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 24$

Etapa 9.3.2

Substitua $x$ por $24$ na desigualdade original.

$\sin (\frac{24}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 9.3.3

O lado esquerdo $0.98935824$ não é menor do que o lado direito $0.8660254$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$π < x < 2 π$ Falso

$2 π < x < 7 π$ Verdadeiro

$7 π < x < 8 π$ Falso

$π < x < 2 π$ Falso

$2 π < x < 7 π$ Verdadeiro

$7 π < x < 8 π$ Falso

Etapa 10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$2 π + 6 π n < x < 7 π + 6 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(2 π + 6 π n, 7 π + 6 π n)$

Etapa 12