Trigonometria Exemplos

$\sin (\frac{π}{12}) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{12})$ é $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.1.1

Divida $\frac{π}{12}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Etapa 1.1.2

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

$(\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Etapa 1.1.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Etapa 1.1.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Etapa 1.1.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Etapa 1.1.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Etapa 1.1.7

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.1.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.7.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 1.1.7.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Etapa 1.1.7.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Etapa 1.1.7.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Etapa 1.1.7.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Etapa 1.1.7.1.2

Multiplique $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.1.7.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Etapa 1.1.7.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Etapa 1.1.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Etapa 1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot (- \cos (\frac{π}{3})) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Etapa 1.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot (- \frac{1}{2}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Etapa 1.4

Multiplique $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{1}{2})$ .

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Etapa 1.4.1

Multiplique $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 2} + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Etapa 1.4.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Etapa 1.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{12})$ é $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.5.1

Divida $\frac{π}{12}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Etapa 1.5.2

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Etapa 1.5.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Etapa 1.5.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Etapa 1.5.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Etapa 1.5.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Etapa 1.5.7

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.5.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.7.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 1.5.7.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Etapa 1.5.7.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Etapa 1.5.7.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Etapa 1.5.7.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Etapa 1.5.7.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.5.7.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Etapa 1.5.7.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Etapa 1.5.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \sin (\frac{2}{3})$

Etapa 1.6

Avalie $\sin (\frac{2}{3})$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot 0.6183698$

Etapa 1.7

Multiplique $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot 0.6183698$ .

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Etapa 1.7.1

Combine $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ e $0.6183698$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 0.6183698}{4}$

Etapa 1.7.2

Multiplique $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ por $0.6183698$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{2.38919745}{4}$

Etapa 1.8

Divida $2.38919745$ por $4$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + 0.59729936$

Etapa 2

Para escrever $0.59729936$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + 0.59729936 \cdot \frac{8}{8}$

Etapa 3

Combine frações.

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Etapa 3.1

Combine $0.59729936$ e $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{0.59729936 \cdot 8}{8}$

Etapa 3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- (\sqrt{6} - \sqrt{2}) + 0.59729936 \cdot 8}{8}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- \sqrt{6} - - \sqrt{2} + 0.59729936 \cdot 8}{8}$

Etapa 4.2

Multiplique $- - \sqrt{2}$ .

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Etapa 4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{6} + 1 \sqrt{2} + 0.59729936 \cdot 8}{8}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2} + 0.59729936 \cdot 8}{8}$

Etapa 4.3

Multiplique $0.59729936$ por $8$ .

$\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2} + 4.7783949}{8}$

Etapa 5

Simplifique com fatoração.

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Etapa 5.1

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{6}$ .

$\frac{- (\sqrt{6}) + \sqrt{2} + 4.7783949}{8}$

Etapa 5.2

Fatore $- 1$ de $\sqrt{2}$ .

$\frac{- (\sqrt{6}) - 1 (- \sqrt{2}) + 4.7783949}{8}$

Etapa 5.3

Fatore $- 1$ de $- (\sqrt{6}) - 1 (- \sqrt{2})$ .

$\frac{- (\sqrt{6} - \sqrt{2}) + 4.7783949}{8}$

Etapa 5.4

Reescreva $4.7783949$ como $- 1 (- 4.7783949)$ .

$\frac{- (\sqrt{6} - \sqrt{2}) - 1 (- 4.7783949)}{8}$

Etapa 5.5

Fatore $- 1$ de $- (\sqrt{6} - \sqrt{2}) - 1 (- 4.7783949)$ .

$\frac{- (\sqrt{6} - \sqrt{2} - 4.7783949)}{8}$

Etapa 5.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.6.1

Reescreva $- (\sqrt{6} - \sqrt{2} - 4.7783949)$ como $- 1 (\sqrt{6} - \sqrt{2} - 4.7783949)$ .

$\frac{- 1 (\sqrt{6} - \sqrt{2} - 4.7783949)}{8}$

Etapa 5.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} - 4.7783949}{8}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} - 4.7783949}{8}$

Forma decimal:

$0.46788984 \dots$