Trigonometria Exemplos

$\cos (60) \cos (15) + \sin (60) \sin (15)$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

O valor exato de $\cos (60)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cos (15) + \sin (60) \sin (15)$

Etapa 1.2

O valor exato de $\cos (15)$ é $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.2.1

Divida $15$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\frac{1}{2} \cos (45 - 30) + \sin (60) \sin (15)$

Etapa 1.2.2

Separar negativação.

$\frac{1}{2} \cos (45 - (30)) + \sin (60) \sin (15)$

Etapa 1.2.3

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{1}{2} (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) + \sin (60) \sin (15)$

Etapa 1.2.4

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) + \sin (60) \sin (15)$

Etapa 1.2.5

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30)) + \sin (60) \sin (15)$

Etapa 1.2.6

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) + \sin (60) \sin (15)$

Etapa 1.2.7

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \sin (60) \sin (15)$

Etapa 1.2.8

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \sin (60) \sin (15)$

Etapa 1.2.8.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \sin (60) \sin (15)$

Etapa 1.2.8.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \sin (60) \sin (15)$

Etapa 1.2.8.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \sin (60) \sin (15)$

Etapa 1.2.8.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.2.8.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) + \sin (60) \sin (15)$

Etapa 1.2.8.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) + \sin (60) \sin (15)$

Etapa 1.2.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \sin (60) \sin (15)$

Etapa 1.3

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2 \cdot 4} + \sin (60) \sin (15)$

Etapa 1.3.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \sin (60) \sin (15)$

Etapa 1.4

O valor exato de $\sin (60)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (15)$

Etapa 1.5

O valor exato de $\sin (15)$ é $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.5.1

Divida $15$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45 - 30)$

Etapa 1.5.2

Separar negativação.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45 - (30))$

Etapa 1.5.3

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Etapa 1.5.4

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Etapa 1.5.5

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30))$

Etapa 1.5.6

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))$

Etapa 1.5.7

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 1.5.8

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.5.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.8.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 1.5.8.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 1.5.8.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 1.5.8.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 1.5.8.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 1.5.8.1.2

Multiplique $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.5.8.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Etapa 1.5.8.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Etapa 1.5.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Etapa 1.6

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.6.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.6.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8}$

Etapa 1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{3} (- \sqrt{2})}{8}$

Etapa 1.8

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3} (- \sqrt{2})}{8}$

Etapa 1.9

Multiplique $\sqrt{3} (- \sqrt{2})$ .

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Etapa 1.9.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3 \cdot 6} - \sqrt{3 \cdot 2}}{8}$

Etapa 1.9.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3 \cdot 6} - \sqrt{6}}{8}$

Etapa 1.10

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.10.1

Multiplique $3$ por $6$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{18} - \sqrt{6}}{8}$

Etapa 1.10.2

Reescreva $18$ como $3^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 1.10.2.1

Fatore $9$ de $18$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{9 (2)} - \sqrt{6}}{8}$

Etapa 1.10.2.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} - \sqrt{6}}{8}$

Etapa 1.10.3

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8}$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8}$

Etapa 2.2

Subtraia $\sqrt{6}$ de $\sqrt{6}$ .

$\frac{0 + \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{8}$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{8}$

Etapa 2.4

Some $\sqrt{2}$ e $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{8}$

Etapa 2.5

Cancele o fator comum de $4$ e $8$ .

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Etapa 2.5.1

Fatore $4$ de $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 (\sqrt{2})}{8}$

Etapa 2.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.5.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Etapa 2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Etapa 2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Forma decimal:

$0.70710678 \dots$