Trigonometria Exemplos

$3 x^{6} + 82 x^{3} + 27$

Etapa 1

Reescreva $x^{6}$ como ${(x^{3})}^{2}$ .

$3 {(x^{3})}^{2} + 82 x^{3} + 27$

Etapa 2

Deixe $u = x^{3}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{3}$ .

$3 u^{2} + 82 u + 27$

Etapa 3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot 27 = 81$ e cuja soma é $b = 82$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $82$ de $82 u$ .

$3 u^{2} + 82 (u) + 27$

Etapa 3.1.2

Reescreva $82$ como $1$ mais $81$

$3 u^{2} + (1 + 81) u + 27$

Etapa 3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 u^{2} + 1 u + 81 u + 27$

Etapa 3.1.4

Multiplique $u$ por $1$ .

$3 u^{2} + u + 81 u + 27$

Etapa 3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 u^{2} + u) + 81 u + 27$

Etapa 3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (3 u + 1) + 27 (3 u + 1)$

Etapa 3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 u + 1$ .

$(3 u + 1) (u + 27)$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3}$ .

$(3 x^{3} + 1) (x^{3} + 27)$

Etapa 5

Reescreva $27$ como $3^{3}$ .

$(3 x^{3} + 1) (x^{3} + 3^{3})$

Etapa 6

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$(3 x^{3} + 1) ((x + 3) (x^{2} - x \cdot 3 + 3^{2}))$

Etapa 7

Fatore.

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Etapa 7.1

Simplifique.

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Etapa 7.1.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$(3 x^{3} + 1) ((x + 3) (x^{2} - 3 x + 3^{2}))$

Etapa 7.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$(3 x^{3} + 1) ((x + 3) (x^{2} - 3 x + 9))$

Etapa 7.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(3 x^{3} + 1) (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)$