Trigonometria Exemplos

$2 x^{2} + 7 x^{3} - 8 x^{2} + 5$

Etapa 1

Reagrupe os termos.

$- 8 x^{2} + 2 x^{2} + 7 x^{3} + 5$

Etapa 2

Reordene os termos.

$- 8 x^{2} + 7 x^{3} + 2 x^{2} + 5$

Etapa 3

Fatore $7 x^{3} + 2 x^{2} + 5$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 3.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 7$

Etapa 3.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 5, \pm 0.\overline{714285}$

Etapa 3.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 3.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

$7 {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} + 5$

Etapa 3.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$7 \cdot - 1 + 2 {(- 1)}^{2} + 5$

Etapa 3.3.3

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$- 7 + 2 {(- 1)}^{2} + 5$

Etapa 3.3.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 7 + 2 \cdot 1 + 5$

Etapa 3.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 7 + 2 + 5$

Etapa 3.3.6

Some $- 7$ e $2$ .

$- 5 + 5$

Etapa 3.3.7

Some $- 5$ e $5$ .

$0$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{7 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x + 1}$

Etapa 3.5

Divida $7 x^{3} + 2 x^{2} + 5$ por $x + 1$ .

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Etapa 3.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$7 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$5$

Etapa 3.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $7 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$7 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$

Etapa 3.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$7 x^{2}$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			+	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$

Etapa 3.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $7 x^{3} + 7 x^{2}$ .

				$7 x^{2}$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$

Etapa 3.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$7 x^{2}$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Etapa 3.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$7 x^{2}$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 3.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 5 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$7 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 3.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$7 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Etapa 3.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 5 x^{2} - 5 x$ .

				$7 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Etapa 3.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$7 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$

Etapa 3.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$7 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$	+	$5$

Etapa 3.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $5 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$7 x^{2}$	-	$5 x$	+	$5$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$	+	$5$

Etapa 3.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$7 x^{2}$	-	$5 x$	+	$5$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$	+	$5$
							+	$5 x$	+	$5$

Etapa 3.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $5 x + 5$ .

				$7 x^{2}$	-	$5 x$	+	$5$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$	+	$5$
							-	$5 x$	-	$5$

Etapa 3.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$7 x^{2}$	-	$5 x$	+	$5$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$	+	$5$
							-	$5 x$	-	$5$
										$0$

Etapa 3.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$7 x^{2} - 5 x + 5$

Etapa 3.6

Escreva $7 x^{3} + 2 x^{2} + 5$ como um conjunto de fatores.

$- 8 x^{2} + (x + 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)$

Etapa 4

Fatore $- 1$ de $- 8 x^{2} + (x + 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)$ .

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Etapa 4.1

Reordene $- 8 x^{2}$ e $(x + 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)$ .

$(x + 1) (7 x^{2} - 5 x + 5) - 8 x^{2}$

Etapa 4.2

Fatore $- 1$ de $(x + 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)$ .

$- ((- x - 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)) - 8 x^{2}$

Etapa 4.3

Fatore $- 1$ de $- 8 x^{2}$ .

$- ((- x - 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)) - (8 x^{2})$

Etapa 4.4

Fatore $- 1$ de $- ((- x - 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)) - (8 x^{2})$ .

$- ((- x - 1) (7 x^{2} - 5 x + 5) + 8 x^{2})$

Etapa 5

Expanda $(- x - 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$- (- x (7 x^{2}) - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Etapa 6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- (- 1 \cdot 7 x \cdot x^{2} - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Etapa 6.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.2.1

Mova $x^{2}$ .

$- (- 1 \cdot 7 (x^{2} x) - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Etapa 6.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 6.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- (- 1 \cdot 7 (x^{2} x^{1}) - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Etapa 6.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- (- 1 \cdot 7 x^{2 + 1} - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Etapa 6.2.3

Some $2$ e $1$ .

$- (- 1 \cdot 7 x^{3} - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Etapa 6.3

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$- (- 7 x^{3} - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Etapa 6.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- (- 7 x^{3} - 1 \cdot - 5 x \cdot x - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Etapa 6.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.5.1

Mova $x$ .

$- (- 7 x^{3} - 1 \cdot - 5 (x \cdot x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Etapa 6.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$- (- 7 x^{3} - 1 \cdot - 5 x^{2} - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Etapa 6.6

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Etapa 6.7

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Etapa 6.8

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 7 x^{2} - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Etapa 6.9

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 7 x^{2} + 5 x - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Etapa 6.10

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 7 x^{2} + 5 x - 5 + 8 x^{2})$

Etapa 7

Combine os termos opostos em $- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 7 x^{2} + 5 x - 5$ .

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Etapa 7.1

Some $- 5 x$ e $5 x$ .

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x^{2} + 0 - 5 + 8 x^{2})$

Etapa 7.2

Some $- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x^{2}$ e $0$ .

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x^{2} - 5 + 8 x^{2})$

Etapa 8

Subtraia $7 x^{2}$ de $5 x^{2}$ .

$- (- 7 x^{3} - 2 x^{2} - 5 + 8 x^{2})$

Etapa 9

Some $- 2 x^{2}$ e $8 x^{2}$ .

$- (- 7 x^{3} + 6 x^{2} - 5)$

Etapa 10

Fatore.

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Etapa 10.1

Fatore $- 1$ de $- 7 x^{3} + 6 x^{2} - 5$ .

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Etapa 10.1.1

Fatore $- 1$ de $- 7 x^{3}$ .

$- (- (7 x^{3}) + 6 x^{2} - 5)$

Etapa 10.1.2

Fatore $- 1$ de $6 x^{2}$ .

$- (- (7 x^{3}) - (- 6 x^{2}) - 5)$

Etapa 10.1.3

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$- (- (7 x^{3}) - (- 6 x^{2}) - 1 (5))$

Etapa 10.1.4

Fatore $- 1$ de $- (7 x^{3}) - (- 6 x^{2})$ .

$- (- (7 x^{3} - 6 x^{2}) - 1 (5))$

Etapa 10.1.5

Fatore $- 1$ de $- (7 x^{3} - 6 x^{2}) - 1 (5)$ .

$- - (7 x^{3} - 6 x^{2} + 5)$

Etapa 10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- - 1 (7 x^{3} - 6 x^{2} + 5)$

Etapa 11

Combine expoentes.

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Etapa 11.1

Fatore o negativo.

$- - (7 x^{3} - 6 x^{2} + 5)$

Etapa 11.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (7 x^{3} - 6 x^{2} + 5)$

Etapa 11.3

Multiplique $7 x^{3} - 6 x^{2} + 5$ por $1$ .

$7 x^{3} - 6 x^{2} + 5$