Trigonometria Exemplos

$\sec (105)$

Etapa 1

Substitua $\sec (105)$ por uma expressão equivalente $\frac{1}{\cos (105)}$ usando as identidades fundamentais.

$\frac{1}{\cos (105)}$

Etapa 2

Use uma fórmula de soma ou diferença no denominador.

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Etapa 2.1

Primeiro, divida o ângulo em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos. Neste caso, $105$ pode ser dividido em $45 + 60$ .

$\frac{1}{\cos (45 + 60)}$

Etapa 2.2

Use a fórmula da soma do cosseno para simplificar a expressão. A fórmula determina que $\cos (A + B) = - (\cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B))$ .

$\frac{1}{\cos (60) \cdot \cos (45) - \sin (60) \cdot \sin (45)}$

Etapa 2.3

Remova os parênteses.

$\frac{1}{\cos (60) \cdot \cos (45) - \sin (60) \cdot \sin (45)}$

Etapa 2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.4.1

O valor exato de $\cos (60)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \cos (45) - \sin (60) \cdot \sin (45)}$

Etapa 2.4.2

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (60) \cdot \sin (45)}$

Etapa 2.4.3

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 2.4.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \sin (60) \cdot \sin (45)}$

Etapa 2.4.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} - \sin (60) \cdot \sin (45)}$

Etapa 2.4.4

O valor exato de $\sin (60)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (45)}$

Etapa 2.4.5

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Etapa 2.4.6

Multiplique $- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 2.4.6.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.4.6.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.4.6.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.4.6.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}}$

Etapa 3.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 \frac{4}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$

Etapa 3.3

Multiplique $\frac{4}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$ por $1$ .

$\frac{4}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$

Etapa 3.4

Multiplique $\frac{4}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{2} - \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$

Etapa 3.5

Multiplique $\frac{4}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$ .

$\frac{4 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{(\sqrt{2} - \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})}$

Etapa 3.6

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\frac{4 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{12} - \sqrt{12} - {\sqrt{6}}^{2}}$

Etapa 3.7

Simplifique.

$\frac{4 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{- 4}$

Etapa 3.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.8.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (\sqrt{2} + \sqrt{6})$

Etapa 3.8.2

Reescreva $- 1 \cdot (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ como $- (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ .

$- (\sqrt{2} + \sqrt{6})$

Etapa 3.9

Aplique a propriedade distributiva.

$- \sqrt{2} - \sqrt{6}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \sqrt{2} - \sqrt{6}$

Forma decimal:

$- 3.86370330 \dots$