Trigonometria Exemplos

$\frac{\tan (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Etapa 1

Use a sum or difference formula on the numerator.

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Etapa 1.1

O ângulo $\frac{π}{3}$ é aquele em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos. Como esse é o caso, adicione $0$ para manter o mesmo valor.

$\frac{(\tan (\frac{π}{3} + 0)) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Etapa 1.2

Use a fórmula da soma da tangente para simplificar a expressão. A fórmula determina que $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{(\frac{\tan (\frac{π}{3}) + \tan (0)}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (0)}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Etapa 1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.1

O valor exato de $\tan (\frac{π}{3})$ é $\sqrt{3}$ .

$\frac{(\frac{\sqrt{3} + \tan (0)}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (0)}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Etapa 1.3.2

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{(\frac{\sqrt{3} + 0}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (0)}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Etapa 1.3.3

Some $\sqrt{3}$ e $0$ .

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (0)}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Etapa 1.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.4.1

O valor exato de $\tan (\frac{π}{3})$ é $\sqrt{3}$ .

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} \tan (0)}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Etapa 1.4.2

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} \cdot 0}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Etapa 1.4.3

Multiplique $- \sqrt{3} \cdot 0$ .

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Etapa 1.4.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1 + 0 \sqrt{3}}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Etapa 1.4.3.2

Multiplique $0$ por $\sqrt{3}$ .

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1 + 0}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Etapa 1.4.4

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Etapa 1.5

Divida $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{(\sqrt{3}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Etapa 1.6

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Etapa 1.7

O ângulo $\frac{π}{4}$ é aquele em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos. Como esse é o caso, adicione $0$ para manter o mesmo valor.

$\frac{\sqrt{3} + \tan (\frac{π}{4} + 0)}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Etapa 1.8

Use a fórmula da soma da tangente para simplificar a expressão. A fórmula determina que $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3} (\tan (\frac{π}{4}) + \tan (0))}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (0)}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Etapa 1.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.9.1

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1 + \tan (0)}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (0)}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Etapa 1.9.2

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1 + 0}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (0)}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Etapa 1.9.3

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (0)}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Etapa 1.10

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.10.1

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1 - 1 \cdot (1 \tan (0))}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Etapa 1.10.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1 - 1 \tan (0)}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Etapa 1.10.3

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1 - 1 \cdot 0}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Etapa 1.10.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1 + 0}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Etapa 1.10.5

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Etapa 1.11

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 1.11.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Etapa 1.11.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1.1

O valor exato de $\tan (\frac{π}{3})$ é $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Etapa 2.1.2

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1}$

Etapa 2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$ por $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$

Etapa 2.3

Combine frações.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$ por $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}$

Etapa 2.3.2

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.1

Reordene os termos.

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 2.4.2

Eleve $1 + \sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 2.4.3

Eleve $1 + \sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} {(1 + \sqrt{3})}^{1}}{- 2}$

Etapa 2.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

Etapa 2.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

Etapa 2.5

Reescreva ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ como $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ .

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 2.6

Expanda $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 2.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 2.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Etapa 2.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.7.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Etapa 2.7.1.2

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Etapa 2.7.1.3

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Etapa 2.7.1.4

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{- 2}$

Etapa 2.7.1.5

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{- 2}$

Etapa 2.7.1.6

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{- 2}$

Etapa 2.7.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{- 2}$

Etapa 2.7.2

Some $1$ e $3$ .

$\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{- 2}$

Etapa 2.7.3

Some $\sqrt{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Etapa 2.8

Cancele o fator comum de $4 + 2 \sqrt{3}$ e $- 2$ .

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Etapa 2.8.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 (2) + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Etapa 2.8.2

Fatore $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (2) + 2 (\sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 2.8.3

Fatore $2$ de $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 2.8.4

Mova o número negativo do denominador de $\frac{2 + \sqrt{3}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$

Etapa 2.9

Reescreva $- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$ como $- (2 + \sqrt{3})$ .

$- (2 + \sqrt{3})$

Etapa 2.10

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}$

Etapa 2.11

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 - \sqrt{3}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- 2 - \sqrt{3}$

Forma decimal:

$- 3.73205080 \dots$