Trigonometria Exemplos

$\tan (\frac{13 π}{12})$

Etapa 1

Primeiro, divida o ângulo em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos. Neste caso, $\frac{13 π}{12}$ pode ser dividido em $\frac{3 π}{4} + \frac{π}{3}$ .

$\tan (\frac{3 π}{4} + \frac{π}{3})$

Etapa 2

Use a fórmula da soma da tangente para simplificar a expressão. A fórmula determina que $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (\frac{3 π}{4}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{3 π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}$

Etapa 3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no segundo quadrante.

$\frac{- \tan (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{3 π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}$

Etapa 3.2

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1 + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{3 π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}$

Etapa 3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1 + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{3 π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}$

Etapa 3.4

O valor exato de $\tan (\frac{π}{3})$ é $\sqrt{3}$ .

$\frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{3 π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}$

Etapa 4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no segundo quadrante.

$\frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - - \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}$

Etapa 4.2

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$\frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - (- 1 \cdot 1) \tan (\frac{π}{3})}$

Etapa 4.3

Multiplique $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - - 1 \tan (\frac{π}{3})}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 1 \tan (\frac{π}{3})}$

Etapa 4.4

Multiplique $\tan (\frac{π}{3})$ por $1$ .

$\frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + \tan (\frac{π}{3})}$

Etapa 4.5

O valor exato de $\tan (\frac{π}{3})$ é $\sqrt{3}$ .

$\frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$

Etapa 5

Multiplique $\frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ por $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

Etapa 6

Combine frações.

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Etapa 6.1

Multiplique $\frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ por $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{(- 1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}$

Etapa 6.2

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\frac{(- 1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 6.3

Simplifique.

$\frac{(- 1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{(- 1 (1) + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 7.2

Fatore $- 1$ de $\sqrt{3}$ .

$\frac{(- 1 (1) - 1 (- \sqrt{3})) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 7.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 7.4

Eleve $1 - \sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{- 1 ({(1 - \sqrt{3})}^{1} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Etapa 7.5

Eleve $1 - \sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{- 1 ({(1 - \sqrt{3})}^{1} {(1 - \sqrt{3})}^{1})}{- 2}$

Etapa 7.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 1 {(1 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

Etapa 7.7

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 1 {(1 - \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

Etapa 8

Reescreva ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ como $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ .

$\frac{- 1 ((1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Etapa 9

Expanda $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ usando o método FOIL.

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Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 1 (1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Etapa 9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 1 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Etapa 9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 1 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Etapa 10

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{- 1 (1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Etapa 10.1.2

Multiplique $- \sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Etapa 10.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Etapa 10.1.4

Multiplique $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Etapa 10.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 10.1.4.2

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 10.1.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 10.1.4.4

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{- 2}$

Etapa 10.1.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1})}{- 2}$

Etapa 10.1.4.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2})}{- 2}$

Etapa 10.1.5

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 10.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}{- 2}$

Etapa 10.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{- 2}$

Etapa 10.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}{- 2}$

Etapa 10.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}{- 2}$

Etapa 10.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1})}{- 2}$

Etapa 10.1.5.5

Avalie o expoente.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3)}{- 2}$

Etapa 10.2

Some $1$ e $3$ .

$\frac{- 1 (4 - \sqrt{3} - \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 10.3

Subtraia $\sqrt{3}$ de $- \sqrt{3}$ .

$\frac{- 1 (4 - 2 \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 11

Cancele o fator comum de $4 - 2 \sqrt{3}$ e $- 2$ .

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Etapa 11.1

Fatore $2$ de $- 1 (4 - 2 \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (- 1 (2 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Etapa 11.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{- 1 (2 - \sqrt{3})}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (- 1 (2 - \sqrt{3}))$

Etapa 12

Reescreva $- 1 \cdot (- 1 (2 - \sqrt{3}))$ como $- (- 1 (2 - \sqrt{3}))$ .

$- (- 1 (2 - \sqrt{3}))$

Etapa 13

Aplique a propriedade distributiva.

$- (- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{3}))$

Etapa 14

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- (- 2 - 1 (- \sqrt{3}))$

Etapa 15

Multiplique $- 1 (- \sqrt{3})$ .

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Etapa 15.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- (- 2 + 1 \sqrt{3})$

Etapa 15.2

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$- (- 2 + \sqrt{3})$

Etapa 16

Aplique a propriedade distributiva.

$- - 2 - \sqrt{3}$

Etapa 17

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$2 - \sqrt{3}$

Etapa 18

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$2 - \sqrt{3}$

Forma decimal:

$0.26794919 \dots$