Trigonometria Exemplos

$2 \sin (15) \cos (15)$

Etapa 1

O complemento de $2 \sin (15) \cos (15)$ é o ângulo que, quando somado com $2 \sin (15) \cos (15)$ , forma um ângulo reto ( $90 °$ ).

$90 ° - 2 \sin (15) \cos (15)$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

O valor exato de $\sin (15)$ é $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 2.1.1

Divida $15$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

Etapa 2.1.2

Separar negativação.

Etapa 2.1.3

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

Etapa 2.1.4

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Etapa 2.1.5

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Etapa 2.1.6

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Etapa 2.1.7

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

Etapa 2.1.8

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 2.1.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.8.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.8.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Etapa 2.1.8.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

Etapa 2.1.8.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

Etapa 2.1.8.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

Etapa 2.1.8.1.2

Multiplique $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.8.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Etapa 2.1.8.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

Etapa 2.1.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

Etapa 2.2.2

Fatore $2$ de $4$ .

Etapa 2.2.3

Cancele o fator comum.

Etapa 2.2.4

Reescreva a expressão.

Etapa 2.3

Reescreva $- 1 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ como $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ .

Etapa 2.4

O valor exato de $\cos (15)$ é $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 2.4.1

Divida $15$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

Etapa 2.4.2

Separar negativação.

Etapa 2.4.3

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

Etapa 2.4.4

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Etapa 2.4.5

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Etapa 2.4.6

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Etapa 2.4.7

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

Etapa 2.4.8

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 2.4.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.4.8.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 2.4.8.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Etapa 2.4.8.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

Etapa 2.4.8.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

Etapa 2.4.8.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

Etapa 2.4.8.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 2.4.8.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

Etapa 2.4.8.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

Etapa 2.4.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$90 - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 °}$

Etapa 2.5

Multiplique $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 2.5.1

Multiplique $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ .

Etapa 2.5.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$90 - \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8 °}$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Expanda $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$90 - \frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8 °}$

Etapa 2.6.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$90 - \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8 °}$

Etapa 2.6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$90 - \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Etapa 2.6.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.6.2.1.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$90 - \frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Etapa 2.6.2.1.2

Multiplique $6$ por $6$ .

$90 - \frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Etapa 2.6.2.1.3

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$90 - \frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Etapa 2.6.2.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$90 - \frac{6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Etapa 2.6.2.1.5

Multiplique $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

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Etapa 2.6.2.1.5.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$90 - \frac{6 - \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Etapa 2.6.2.1.5.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$90 - \frac{6 - \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Etapa 2.6.2.1.6

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 2.6.2.1.6.1

Fatore $4$ de $12$ .

$90 - \frac{6 - \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Etapa 2.6.2.1.6.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$90 - \frac{6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Etapa 2.6.2.1.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$90 - \frac{6 - (2 \sqrt{3}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Etapa 2.6.2.1.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Etapa 2.6.2.1.9

Combine usando a regra do produto para radicais.

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Etapa 2.6.2.1.10

Multiplique $2$ por $6$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{12} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Etapa 2.6.2.1.11

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 2.6.2.1.11.1

Fatore $4$ de $12$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Etapa 2.6.2.1.11.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Etapa 2.6.2.1.12

Elimine os termos abaixo do radical.

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Etapa 2.6.2.1.13

Multiplique $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Etapa 2.6.2.1.13.1

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - (\sqrt{2} \sqrt{2})}{8 °}$

Etapa 2.6.2.1.13.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - (\sqrt{2} \sqrt{2})}{8 °}$

Etapa 2.6.2.1.13.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8 °}$

Etapa 2.6.2.1.13.4

Some $1$ e $1$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8 °}$

Etapa 2.6.2.1.14

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 2.6.2.1.14.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8 °}$

Etapa 2.6.2.1.14.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8 °}$

Etapa 2.6.2.1.14.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8 °}$

Etapa 2.6.2.1.14.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.6.2.1.14.4.1

Cancele o fator comum.

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8 °}$

Etapa 2.6.2.1.14.4.2

Reescreva a expressão.

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2}{8 °}$

Etapa 2.6.2.1.14.5

Avalie o expoente.

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{8 °}$

Etapa 2.6.2.1.15

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2}{8 °}$

Etapa 2.6.2.2

Subtraia $2$ de $6$ .

$90 - \frac{4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{8 °}$

Etapa 2.6.2.3

Some $- 2 \sqrt{3}$ e $2 \sqrt{3}$ .

$90 - \frac{4 + 0}{8 °}$

Etapa 2.6.2.4

Some $4$ e $0$ .

$90 - \frac{4}{8 °}$

Etapa 2.7

Cancele o fator comum de $4$ e $8$ .

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Etapa 2.7.1

Fatore $4$ de $4$ .

$90 - \frac{4 (1)}{8 °}$

Etapa 2.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.7.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

Etapa 2.7.2.2

Cancele o fator comum.

Etapa 2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$90 - \frac{1}{2 °}$

Etapa 3

Para escrever $90$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$90 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 °}$

Etapa 4

Combine $90$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{90 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 °}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{90 \cdot 2 - 1}{2 °}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $90$ por $2$ .

$\frac{180 - 1}{2 °}$

Etapa 6.2

Subtraia $1$ de $180$ .

$\frac{179}{2 °}$